Calcule a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função definida por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é nula em
. - Para
, a função é . - Precisamos calcular
(isto é o que o enunciado pede).]
Passo 2
Relembrando a definição e o que cada símbolo significa:
- A transformada de Laplace da função
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge normalmente quando
(a parte real de
) é grande o suficiente. Aqui vamos trabalhar supondo a condição usual de convergência que aparecerá no final (normalmente
para funções trigonométricas multiplicadas por decaimento exponencial).
Passo 3
Reescrevendo
- Assim podemos escrever
Portanto
é a versão “ligada” em
da função
.
Passo 4
Usando a definição da transformada e fazendo a mudança de variável para provar a propriedade de deslocamento:
Como o termo
anula a integral para
, a integral passa a ser
Agora fazemos a substituição de variável
. Então quando
temos
, e quando
temos
. Também
e
. Substituindo,
Isto mostra a propriedade de atraso: se
então
. Aqui
e
.
Passo 5
Agora calculamos a transformada de Laplace de
:
Começo da integral
Começo da integral
Uma maneira direta (rápida e padrão) é usar exponenciais complexas. Lembrando que
, temos
Cada integral é uma integral exponencial simples: para
(garantindo convergência)
Portanto
Somando as frações:
Então, para
,
Passo 6
Voltando à expressão obtida no Passo 4 e substituindo
:
Devemos indicar a condição de convergência: a integral
converge para
, logo a expressão final vale para
.