Calcule a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função por partes
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é igual a
antes de e, a partir de , passa a ser . - O pedido é a transformada de Laplace
. - Importante: indicar a região de convergência (condição em
) da transformada.]
Passo 2
Vou reescrever
usando a função degrau de Heaviside
— isso simplifica muito a aplicação das propriedades da transformada de Laplace.
Observação: para
a parte extra
não aparece, e para
ela aparece. Assim podemos escrever
Explicando em palavras: começamos com
para todo
e “ligamos” a função
somente a partir de
com o degrau
.
Passo 3
Lembrete das propriedades que vou usar (sem pular etapas):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
,
quando a integral converge.
- Linearidade:
. - Propriedade do deslocamento no tempo (função degrau): se
, então
para
. Aqui
é o degrau unitário.
Aplicando a linearidade em
teremos
Passo 4
Calcular
. Vou dar uma dedução curta e clara usando exponenciais complexas (é um jeito limpinho e rápido que dá o resultado sem muitas contas de integração por partes).
Considere
. Note que
, então
A integral geométrica converge para
e vale
Tomando a parte imaginária,
válido para
.
Passo 5
Calcular
(vai ser útil para o deslocamento). Usando a mesma ideia,
para
.
Passo 6
Aplicar a propriedade do deslocamento para
.
Pela propriedade,
Usando o resultado do Passo 5,
Passo 7
Juntando tudo (linearidade do Passo 3):
Fatorando
,
válido para
.
Passo 8
Checagem rápida (vista como integral direta, para quem prefere ver a conta): dividir a integral conforme o enunciado
A soma das duas primeiras integrais (as partes com
) dá
. A integral da última parcela com
faz a substituição
e resulta em
. Isso confirma o resultado do passo anterior.