Calcule a transformada de Laplace
f(t)= \begin{cases}\sin t, & 0 \leq t<\pi / 4, \\\ \sin t+\cos (t-\pi / 4), & t \geq \pi / 4 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função por partes
f(t)= \begin{cases}\sin t, & 0 \leq t<\pi / 4, \\[4pt] \sin t+\cos (t-\pi / 4), & t \geq \pi / 4 .\end{cases}
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é igual a \sin t antes de t=\pi/4 e, a partir de t=\pi/4, passa a ser \sin t+\cos(t-\pi/4).
  • O pedido é a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Importante: indicar a região de convergência (condição em s) da transformada.]

Passo 2

Vou reescrever f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t-a) — isso simplifica muito a aplicação das propriedades da transformada de Laplace.
Observação: para t<\pi/4 a parte extra \cos(t-\pi/4) não aparece, e para t\ge\pi/4 ela aparece. Assim podemos escrever
f(t)=\sin t + u\!\bigl(t-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\cos\bigl(t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Explicando em palavras: começamos com \sin t para todo t\ge0 e “ligamos” a função \cos(t-\pi/4) somente a partir de t=\pi/4 com o degrau u(t-\pi/4).

Passo 3

Lembrete das propriedades que vou usar (sem pular etapas):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t),
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t)\,dt,
quando a integral converge.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{g_1+g_2\}(s)=\mathcal{L}\{g_1\}(s)+\mathcal{L}\{g_2\}(s).
  • Propriedade do deslocamento no tempo (função degrau): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,G(s),
para a>0. Aqui u é o degrau unitário.
Aplicando a linearidade em f(t)=\sin t + u(t-\pi/4)\cos(t-\pi/4) teremos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{\sin t\}(s) + \mathcal{L}\{u(t-\tfrac{\pi}{4})\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\}(s).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\sin t\}(s). Vou dar uma dedução curta e clara usando exponenciais complexas (é um jeito limpinho e rápido que dá o resultado sem muitas contas de integração por partes).
Considere \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt. Note que \sin t=\Im(e^{it}), então
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt = \Im\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt\right).
A integral geométrica converge para \Re(s)>0 e vale
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt = \frac{1}{s-i}.
Tomando a parte imaginária,
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\Im\!\left(\frac{1}{s-i}\right) = \Im\!\left(\frac{s+i}{s^2+1}\right) = \frac{1}{s^2+1},
válido para \Re(s)>0.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{\cos t\}(s) (vai ser útil para o deslocamento). Usando a mesma ideia,
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt\right) =\Re\!\left(\frac{1}{s-i}\right) =\Re\!\left(\frac{s+i}{s^2+1}\right) =\frac{s}{s^2+1},
para \Re(s)>0.

Passo 6

Aplicar a propriedade do deslocamento para \mathcal{L}\{u(t-\tfrac{\pi}{4})\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\}(s).
Pela propriedade,
\mathcal{L}\{u(t-\tfrac{\pi}{4})\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\}(s) = e^{-\tfrac{\pi}{4}s}\,\mathcal{L}\{\cos t\}(s).
Usando o resultado do Passo 5,
\mathcal{L}\{u(t-\tfrac{\pi}{4})\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\}(s) = e^{-\tfrac{\pi}{4}s}\cdot\frac{s}{s^2+1}.

Passo 7

Juntando tudo (linearidade do Passo 3):
\mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{\sin t\}(s) + \mathcal{L}\{u(t-\tfrac{\pi}{4})\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\}(s) = \frac{1}{s^2+1} + e^{-\tfrac{\pi}{4}s}\cdot\frac{s}{s^2+1}.
Fatorando \dfrac{1}{s^2+1},
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 + s\,e^{-\tfrac{\pi}{4}s}}{s^2+1},
válido para \Re(s)>0.

Passo 8

Checagem rápida (vista como integral direta, para quem prefere ver a conta): dividir a integral conforme o enunciado
\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{\pi/4} e^{-st}\sin t\,dt +\int_{\pi/4}^{\infty} e^{-st}\bigl(\sin t+\cos(t-\tfrac{\pi}{4})\bigr)\,dt.
A soma das duas primeiras integrais (as partes com \sin t) dá \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\dfrac{1}{s^2+1}. A integral da última parcela com \cos(t-\tfrac{\pi}{4}) faz a substituição u=t-\tfrac{\pi}{4} e resulta em e^{-\tfrac{\pi}{4}s}\dfrac{s}{s^2+1}. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 + s\,e^{-\tfrac{\pi}{4}s}}{s^2+1},\quad \Re(s)>0

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