(0,4 pts) Questão 3 - Determine a solução do problema de valor inicial dado abaixo
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}+2 t y=4 t \\\ y(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d y}{d t}+2 t y=4 t,\\[6pt] y(0)=-1. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  • O coeficiente de y é 2t.
  • A função do lado direito é 4t.
  • A condição inicial é y(0)=-1.]

Passo 2

Reconhecer o tipo de equação e o método a usar. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=g(t),
onde, neste problema,
p(t)=2t\qquad\text{e}\qquad g(t)=4t.
Para resolver equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é e por que funciona.

Passo 3

Explicação didática do fator integrante. Seja a equação
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=g(t).
Escolhe-se uma função \mu(t) tal que ao multiplicar a equação por \mu(t) a parte esquerda se torne a derivada do produto \mu(t)y(t). De fato,
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dt}+\mu'\,y.
Para que isso seja igual a \mu\big(\frac{dy}{dt}+p(t)y\big) é necessário que
\mu'=\mu p(t),
ou seja
\frac{\mu'}{\mu}=p(t).
Integrando ambos os lados obtemos
\ln\mu=\int p(t)\,dt + \text{const},
e, tomando exponencial,
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}
pode ser escolhido como fator integrante (a constante multiplicativa pode ser tomada como 1).

Passo 4

Calcular o fator integrante no nosso caso. Como p(t)=2t,
\mu(t)=e^{\int 2t\,dt}=e^{t^{2}}.

Passo 5

Multiplicar a equação original pelo fator integrante. Fazendo isso obtemos
e^{t^{2}}\frac{dy}{dt}+2t e^{t^{2}} y = 4t e^{t^{2}}.
Pelo motivo explicado antes, a parte esquerda é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{t^{2}} y\big)=4t e^{t^{2}}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t. Integramos
\int \frac{d}{dt}\big(e^{t^{2}} y\big)\,dt = \int 4t e^{t^{2}}\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{t^{2}} y mais constante. Para a integral do lado direito faça a substituição u=t^{2}, de modo que du=2t\,dt. Então
\int 4t e^{t^{2}}\,dt = \int 2 e^{u}\,du = 2 e^{u} + C = 2 e^{t^{2}} + C.
Assim obtemos
e^{t^{2}} y = 2 e^{t^{2}} + C,
onde C é constante de integração. Isolando y,
y(t)=2 + C e^{-t^{2}}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial para determinar C. Usando y(0)=-1 e substituindo t=0 na expressão geral:
y(0)=2 + C e^{0}=2 + C.
Como y(0)=-1, segue
-1 = 2 + C \quad\Rightarrow\quad C=-3.

Passo 8

Com o valor de C determinado, obtém-se a solução particular que satisfaz a condição inicial. (A verificação é direta: basta diferenciar a solução encontrada e substituir na equação original para confirmar que satisfaz a equação e a condição.)

Resposta

y(t)=2-3e^{-t^{2}}

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