Prove que:
Se a \in \mathbb{Z} tal que \operatorname{mdc}(a, 4)=2, então a \equiv 2(\bmod 4).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a\in\mathbb{Z} e \gcd(a,4)=2.
  • Pedido: provar que a\equiv 2\pmod{4}.
Ou seja, a tarefa é mostrar que a deixa resto 2 na divisão por 4 (equivalente a mostrar que 4 divide a-2) sabendo que o maior divisor comum entre a e 4 é 2.

Passo 2

Lembretes e definições que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • " d=\gcd(x,y) " significa que d é um divisor comum de x e y e é o maior com essa propriedade; em particular d\mid x e d\mid y.
  • " b\mid c " significa que b divide c, ou seja existe um inteiro k tal que c=bk.
  • " u\equiv v\pmod{n} " significa que n\mid(u-v) (ou seja u e v deixam o mesmo resto na divisão por n).
Vou usar também a propriedade simples: se \gcd(x,y)=d então \gcd\!\left(\dfrac{x}{d},\dfrac{y}{d}\right)=1. Vou justificar essa propriedade no próximo passo.

Passo 3

Do dado \gcd(a,4)=2 deduzo imediatamente que 2\mid a (porque 2 é um divisor comum) e que 4\nmid a (porque se 4\mid a então 4 seria um divisor comum maior ou igual a 4, contradizendo \gcd(a,4)=2). Portanto a é par, mas não é múltiplo de 4.
Para trabalhar com isso escrevo a como múltiplo de 2. Ou seja existe k\in\mathbb{Z} tal que
a=2k.

Passo 4

Vou usar a propriedade citada: se \gcd(a,4)=2 então \gcd\!\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{4}{2}\right)=1. Aplicando ao nosso caso,
\gcd(k,2)=1.
Justificativa curta: se \gcd(k,2) fosse um número g>1, então 2g dividiria 2k=a e também dividiria 4, logo 2g seria um divisor comum de a e 4 maior que 2, contradizendo \gcd(a,4)=2. Logo \gcd(k,2)=1.
Da igualdade \gcd(k,2)=1 segue que k não é par, ou seja k é ímpar.

Passo 5

Como k é ímpar, existe m\in\mathbb{Z} tal que k=2m+1. Substituindo em a=2k obtemos
a=2(2m+1)=4m+2.
Isso mostra que a-2=4m, ou seja 4\mid(a-2). Pela definição de congruência modular, isso é exatamente a\equiv 2\pmod{4}.

Passo 6

Conclusão direta do passo anterior: a partir de \gcd(a,4)=2 mostramos que a é da forma 4m+2, portanto deixa resto 2 na divisão por 4. Isso completa a prova.

Resposta

a\equiv 2\pmod{4}

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