Expresse os seguintes pontos em coordenadas cartesianas:
P\left(1,60^{\circ}, 2\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto escrito como P\bigl(1,60^\circ,2\bigr) e pede para expressá‑lo em coordenadas cartesianas.
Dados extraídos do enunciado:
  • r=1 (primeira coordenada),
  • \theta=60^\circ (segunda coordenada),
  • z=2 (terceira coordenada).

Passo 2

Vamos decidir como interpretar a notação \bigl(1,60^\circ,2\bigr). Esse triplo tem formato (r,\theta,z), ou seja, um raio no plano xy, um ângulo no plano xy e a altura z. Por isso vamos usar a conversão do sistema cilíndrico para o cartesiano (não é necessário considerar coordenadas esféricas aqui, porque a terceira coordenada é explicitamente uma altura z, não um raio total).

Passo 3

Formulação das relações de conversão (essas são as fórmulas-chave; vou explicar cada símbolo):
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
z = z
Explicando: \;r é a distância do ponto ao eixo z projetado no plano xy; \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo até o raio de projeção (no sentido anti‑horário); \cos\theta e \sin\theta dão as projeções desse raio nas direções x e y.

Passo 4

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=60^\circ. Valores trigonométricos conhecidos (podem ser obtidos desenhando um triângulo equilátero de lado 1 e cortando ao meio):
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}, \qquad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Rápida intuição: num triângulo equilátero de lado 1, a altura vale \tfrac{\sqrt{3}}{2} e a metade da base vale \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas com os números do enunciado (mostrando passo a passo, componente a componente):
x = r\cos\theta = 1\cdot\cos 60^\circ = 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2},
y = r\sin\theta = 1\cdot\sin 60^\circ = 1\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2},
z = 2.
(Se quiser uma aproximação decimal rápida: \tfrac{1}{2}=0{,}5 e \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660.)

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ 2\right)

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