Calcule a transformada de Laplace, de cada uma das funções f(t)\), utilizando a definição \[\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} f(t) d t
(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<3, \\\\ 2, & t \geq 3\end{cases}]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace, usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
da função dada por
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<3, \\[4pt] 2, & t \geq 3.\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Para 0\le t<3 vale f(t)=0.
  • Para t\ge 3 vale f(t)=2.
  • A transformada é definida pela integral imprópria de 0 a +\infty.
    O objetivo é obter \mathcal{L}\{f(t)\} em função de s e indicar a condição de convergência em s.]

Passo 2

Vamos escrever a integral da definição dividindo o intervalo de integração nas partes onde f(t) tem expressões diferentes. Pela linearidade da integral:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} f(t)\,dt = \int_{0}^{3} e^{-s t}\cdot 0\,dt + \int_{3}^{+\infty} e^{-s t}\cdot 2\,dt.
Explicando: é permitido dividir a integral porque f(t) é dada por partes e a integral sobre [0,\infty) é soma das integrais sobre [0,3) e [3,\infty).

Passo 3

A primeira integral é zero porque o integrando é zero em [0,3):
\int_{0}^{3} e^{-s t}\cdot 0\,dt = 0.
Portanto sobra calcular
\int_{3}^{+\infty} 2 e^{-s t}\,dt.

Passo 4

Calculemos a integral exponencial passo a passo. Para s com parte real positiva a primitiva de e^{-s t} em t é -\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Então:
\int_{3}^{+\infty} 2 e^{-s t}\,dt = 2\left[\;-\frac{1}{s}e^{-s t}\;\right]_{t=3}^{t=+\infty}.
Agora avaliamos o limite no infinito: se \Re(s)>0 então e^{-s t}\to 0 quando t\to+\infty. Assim
2\left(0 - \left(-\frac{1}{s}e^{-3s}\right)\right) = 2\cdot\frac{1}{s}e^{-3s} = \frac{2}{s}e^{-3s}.

Passo 5

Comentário didático (método alternativo e interpretação): a função f(t) pode ser escrita usando a função degrau unitário u(t-3) como
f(t)=2\,u(t-3).
Existe uma propriedade útil (teorema do deslocamento) que diz: se g(t) tem transformada G(s) então \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s). Aqui g(t)\equiv 2 tem transformada G(s)=\dfrac{2}{s} (para \Re(s)>0), e aplicando o deslocamento com a=3 obtemos novamente \dfrac{2}{s}e^{-3s}. Isso confirma o resultado. Lembre que a condição de convergência é \Re(s)>0, necessária para que a integral imprópria converja.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{s}e^{-3s},\quad \Re(s)>0

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