Calcule as transformadas inversas de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função
Ou seja, encontrar uma função
definida para
tal que
Informações relevantes dadas:
- A função no domínio de
é . - Espera-se encontrar
para . - Não há imagem ou dados adicionais.
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição da transformada de Laplace: para uma função
de ordem apropriada,
valendo para valores de
com parte real grande o bastante. Uma transformada padrão muito útil é a de
. Vamos calcular
por integração por partes para fixar a ideia.
Tomando
e
, então
e
. Aplicando integração por partes:
A primeira parcela vale
para
(pois
quando
), e a integral restante é
Portanto:
Passo 3
Agora use uma propriedade importantíssima: o teorema do deslocamento no domínio
(shifting theorem). Ele diz que, se
então, para qualquer constante
,
Em termos de inversa, isso implica
Aqui
é o deslocamento no eixo
,
é a transformada de
. É uma ferramenta básica: deslocar
corresponde a multiplicar por
no tempo.
Passo 4
Aplicando o teorema de deslocamento ao nosso caso: já sabemos que
Se substituirmos
por
nessa igualdade, obtemos
Pela forma inversa do teorema do deslocamento:
Passo 5
Verificação direta (opcional, mas útil para confiança): calcule a transformada de Laplace de
:
Isso é exatamente a transformada de
avaliada em
, logo vale
para
. Confirmação perfeita.