Calcule as transformadas inversas de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Ou seja, encontrar uma função f(t) definida para t\ge0 tal que
\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função no domínio de s é \dfrac{1}{(s-1)^{2}}.
  • Espera-se encontrar f(t) para t\ge0.
  • Não há imagem ou dados adicionais.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) de ordem apropriada,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
valendo para valores de s com parte real grande o bastante. Uma transformada padrão muito útil é a de t. Vamos calcular \mathcal{L}\{t\}(s) por integração por partes para fixar a ideia.
Tomando u=t e dv=e^{-st}dt, então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando integração por partes:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left. -\frac{t}{s} e^{-st} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-st}\,dt.
A primeira parcela vale 0 para \Re(s)>0 (pois t e^{-st}\to0 quando t\to\infty), e a integral restante é
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.
Portanto:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0.

Passo 3

Agora use uma propriedade importantíssima: o teorema do deslocamento no domínio s (shifting theorem). Ele diz que, se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\}(s)=F(s-a).
Em termos de inversa, isso implica
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}(t)=e^{at} f(t).
Aqui a é o deslocamento no eixo s, F é a transformada de f. É uma ferramenta básica: deslocar s corresponde a multiplicar por e^{at} no tempo.

Passo 4

Aplicando o teorema de deslocamento ao nosso caso: já sabemos que
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Se substituirmos s por s-1 nessa igualdade, obtemos
\frac{1}{(s-1)^{2}} = \mathcal{L}\{t\}(s-1) = \mathcal{L}\{e^{1\cdot t}\, t\}(s).
Pela forma inversa do teorema do deslocamento:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}}\right\}(t)=e^{t}\, t.

Passo 5

Verificação direta (opcional, mas útil para confiança): calcule a transformada de Laplace de f(t)=t e^{t}:
\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{t} e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-1)t}\,dt.
Isso é exatamente a transformada de t avaliada em s-1, logo vale \dfrac{1}{(s-1)^{2}} para \Re(s)>1. Confirmação perfeita.

Resposta

t e^{t}

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