Calcule a transformada de Laplace de cada função, usando propriedades e tabelas quando conveniente
,
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função temporal é
. - Quer-se a transformada de Laplace
e a região de convergência associada.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa.
A transformada de Laplace de uma função é
A transformada de Laplace de uma função
onde:
-
é a variável temporal (tempo, ); -
é a variável complexa da transformada (normalmente escrevemos ); - a integral converge se a parte real de
for suficientemente grande (essa é a região de convergência).
Passo 3
Vou usar duas coisas da “caixinha de ferramentas” (tabelas e propriedades) que são padrão e muito úteis:
- A transformada de Laplace de
(fórmula tabela):
válida para
. Aqui
é a frequência angular (no nosso caso
).
Expliquei: nessa fórmula,
é um número real positivo e
é a variável da transformada; o denominador
vem da combinação que aparece ao integrar exponencial vezes seno.
- A propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento na variável
):
Se, então para qualquer constante vale
Explicando: multiplicar
por
é equivalente, na transformada, a substituir
por
na transformada de
. Isso vem direto da definição:
Passo 4
Aplicando essas duas ferramentas ao nosso problema:
- Primeiro, identifique
. Pela tabela,
válido para
.
- Em seguida, note que a função que queremos é
, ou seja na propriedade do deslocamento exponencial. Pelo teorema do deslocamento:
Passo 5
Agora efetuo a substituição na expressão da transformada de
: trocar
por
em
. Isso dá a expressão final da transformada (vou colocar a expressão final na seção de resposta conforme pedido).
Também é importante a região de convergência: a integral equivalente que aparece é
que converge se
, ou seja se
.
Passo 6
Rápida verificação (opcional, só para fixar a ideia): a integral que define a transformada pode ser escrita como
e é conhecida a fórmula (obtida por exponencial complexa ou por integração por partes duas vezes)
válida para
. Tomando
e
recupera-se a mesma expressão que foi obtida pela propriedade de deslocamento.