Calcule a transformada de Laplace de cada função, usando propriedades e tabelas quando conveniente
f(t)=e^{-3 t} \operatorname{sen}(5 t),

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{-3t}\sin(5t)\,.
Informações dadas:
  • A função temporal é \,f(t)=e^{-3t}\sin(5t)\,.
  • Quer-se a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt e a região de convergência associada.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada símbolo significa.
A transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,g(t)\,dt,
onde:
  • t é a variável temporal (tempo, t\ge 0);
  • s é a variável complexa da transformada (normalmente escrevemos s=\sigma+i\omega);
  • a integral converge se a parte real de s for suficientemente grande (essa é a região de convergência).

Passo 3

Vou usar duas coisas da “caixinha de ferramentas” (tabelas e propriedades) que são padrão e muito úteis:
  1. A transformada de Laplace de \sin(\omega t) (fórmula tabela):
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui \omega é a frequência angular (no nosso caso \omega=5).
Expliquei: nessa fórmula, \omega é um número real positivo e s é a variável da transformada; o denominador s^{2}+\omega^{2} vem da combinação que aparece ao integrar exponencial vezes seno.
  1. A propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento na variável s):
    Se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então para qualquer constante a vale
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Explicando: multiplicar g(t) por e^{a t} é equivalente, na transformada, a substituir s por s-a na transformada de g. Isso vem direto da definição:
\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt = G(s-a).

Passo 4

Aplicando essas duas ferramentas ao nosso problema:
  • Primeiro, identifique g(t)=\sin(5t). Pela tabela,
\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s)=\frac{5}{s^{2}+25},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Em seguida, note que a função que queremos é e^{-3t}\sin(5t), ou seja a=-3 na propriedade do deslocamento exponencial. Pelo teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(5t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s-(-3))=\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s+3).

Passo 5

Agora efetuo a substituição na expressão da transformada de \sin(5t): trocar s por s+3 em \dfrac{5}{s^{2}+25}. Isso dá a expressão final da transformada (vou colocar a expressão final na seção de resposta conforme pedido).
Também é importante a região de convergência: a integral equivalente que aparece é
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\sin(5t)\,dt,
que converge se \operatorname{Re}(s+3)>0, ou seja se \operatorname{Re}(s)>-3.

Passo 6

Rápida verificação (opcional, só para fixar a ideia): a integral que define a transformada pode ser escrita como
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\sin(5t)\,dt,
e é conhecida a fórmula (obtida por exponencial complexa ou por integração por partes duas vezes)
\int_{0}^{\infty} e^{-p t}\sin(\omega t)\,dt=\frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}},
válida para \operatorname{Re}(p)>0. Tomando p=s+3 e \omega=5 recupera-se a mesma expressão que foi obtida pela propriedade de deslocamento.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(5t)\}(s)=\dfrac{5}{(s+3)^{2}+25},\\ \operatorname{Re}(s)>-3

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