Calcule a transformada de Laplace de f(t)
f(t)=t^{3} e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(t) e pede a sua transformada de Laplace. Dados relevantes:
f(t)=t^{3}e^{-2t}.
O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f\}(s) e indicar a região de convergência (valores de s para os quais a integral converge).

Passo 2

Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o significado das variáveis (uma aulinha curta, sem medo): a transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde t é a variável no domínio temporal (tempo), s é uma variável complexa (frequência complexa) e a integral deve convergir para que a transformada exista. A ideia prática: multiplicamos g(t) por e^{-st} e integramos de 0 a \infty. Se o fator exponencial faz a integral convergir, beleza — temos a transformada.
Uma propriedade muito útil (e rápida de justificar) é o deslocamento no eixo s:
se G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s), então, para todo a\in\mathbb{C},
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Prova rápida dessa propriedade: inserir e^{at}g(t) na definição dá
\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} g(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt = G(s-a).
No nosso caso a=-2 (pois temos um fator e^{-2t}=e^{(-2)t}), então a transformada de t^{3}e^{-2t} é a transformada de t^{3} avaliada em s-(-2)=s+2.

Passo 3

Agora precisamos da transformada de \,t^{3}\,. Vou calcular pela definição usando integração por partes para ficar bem claro como obter a fórmula geral \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-s t}\,dt = \dfrac{n!}{s^{\,n+1}} (válida para \operatorname{Re}(s)>0) — aqui fazemos o caso n=3.
Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-s t}\,dt.
Fazemos integração por partes escolhendo u=t^{3} e dv=e^{-st}dt. Então du=3t^{2}dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
I(s)=\left[-\frac{t^{3}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira \left[-\dfrac{t^{3}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} vale 0 quando \operatorname{Re}(s)>0, porque e^{-st} decai exponencialmente mais rápido que t^{3} cresce polinomialmente. Logo
I(s)=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Repetimos o mesmo procedimento para J(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt: integração por partes dá
J(s)=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t\, e^{-s t}\,dt.
E para K(s)=\int_{0}^{\infty} t\, e^{-s t}\,dt temos
K(s)=\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\left[\!-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s^{2}},
novamente para \operatorname{Re}(s)>0. Voltando:
J(s)=\frac{2}{s}K(s)=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
E então
I(s)=\frac{3}{s}J(s)=\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{6}{s^{4}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{6}{s^{4}},\quad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.
(Observação útil para prova: é a mesma ideia para obter \int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt = \dfrac{n!}{s^{n+1}} por indução.)

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento explicada no Passo 2. Tomando g(t)=t^{3} com G(s)=\dfrac{6}{s^{4}} e a=-2, temos
\mathcal{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s)=G(s-(-2))=G(s+2)=\frac{6}{(s+2)^{4}}.
Região de convergência: como G converge para \operatorname{Re}(s)>0, aqui devemos ter \operatorname{Re}(s+2)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>-2.

Resposta

\frac{6}{(s+2)^{4}},\quad \operatorname{Re}(s)>-2

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