Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a sua transformada de Laplace. Dados relevantes:
O que se pede: calcular
e indicar a região de convergência (valores de
para os quais a integral converge).
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o significado das variáveis (uma aulinha curta, sem medo): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável no domínio temporal (tempo),
é uma variável complexa (frequência complexa) e a integral deve convergir para que a transformada exista. A ideia prática: multiplicamos
por
e integramos de
a
. Se o fator exponencial faz a integral convergir, beleza — temos a transformada.
Uma propriedade muito útil (e rápida de justificar) é o deslocamento no eixo
:
se , então, para todo
,
se
Prova rápida dessa propriedade: inserir
na definição dá
No nosso caso
(pois temos um fator
), então a transformada de
é a transformada de
avaliada em
.
Passo 3
Agora precisamos da transformada de
. Vou calcular pela definição usando integração por partes para ficar bem claro como obter a fórmula geral
(válida para
) — aqui fazemos o caso
.
Defina
Fazemos integração por partes escolhendo
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
O termo de fronteira
vale
quando
, porque
decai exponencialmente mais rápido que
cresce polinomialmente. Logo
Repetimos o mesmo procedimento para
: integração por partes dá
E para
temos
novamente para
. Voltando:
E então
Portanto
(Observação útil para prova: é a mesma ideia para obter
por indução.)
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de deslocamento explicada no Passo 2. Tomando
com
e
, temos
Região de convergência: como
converge para
, aqui devemos ter
, isto é
.