Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Laplace dessa função. Informação relevante que já temos do enunciado:
A pergunta é: qual é
, isto é, o valor da integral definição da transformada de Laplace aplicada a
?
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a definição da transformada de Laplace de uma função
. Por definição,
onde
é uma variável complexa e a integral converge para certos valores de
. Aqui
, então substituímos na definição para montar a integral que precisamos calcular:
Passo 3
Combine os exponenciais dentro da integral:
Portanto a integral fica
Para que a integral imprópria convirja é preciso que a parte real do expoente seja positiva, ou seja, que
. Em termos de
isso significa
. A seguir vamos calcular a integral assumindo essa condição.
Passo 4
Para calcular
façamos a mudança de notação
. Assim queremos
com a condição
. Vamos calcular essa integral por integração por partes. Tome
Então
A fórmula da integração por partes diz
. Aplicando:
Simplificando a segunda integral:
Calcule a integral restante:
Logo um primitivo é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida de
a
. Usando o primitivo encontrado:
Para
temos
quando
, então o termo no limite superior é
. No limite inferior, em
, o valor do primitivo é
. Portanto
Passo 6
Voltando à nossa variável original
, obtemos
com região de convergência dada por
, isto é,
.