Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5 s-2}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a transformada inversa de Laplace de \displaystyle \frac{1}{5s-2}, ou seja calcular \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5s-2}\right\}. Informação dada: a função no domínio de s é \displaystyle F(s)=\frac{1}{5s-2}. Vamos buscar uma função f(t) definida para t\ge 0 tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Não há figura nem outros dados a considerar.

Passo 2

Lembrando a definição e um resultado básico da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
quando essa integral converge. Um caso importante e muito usado é f(t)=e^{at}. Vamos calcular a transformada de e^{at} passo a passo para entender por que ela aparece aqui:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Para que essa integral converja precisamos de \operatorname{Re}(s-a)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Integrando:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a},
portanto
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para } \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 3

Da relação anterior obtemos diretamente a transformada inversa padrão:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad t\ge 0.
Esse é o resultado que vamos usar como “peça básica” para inverter a função dada.

Passo 4

Agora manipulo algebricamente a função dada para colocá-la na forma \frac{1}{s-a}. Parto de
F(s)=\frac{1}{5s-2}.
Fatorando 5 no denominador:
\frac{1}{5s-2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-\tfrac{2}{5}}.
Observação: aqui eu apenas dividi numerador e denominador por 5.

Passo 5

Usando a linearidade da transformada inversa de Laplace (constante fora da transformada passa para fora):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5s-2}\right\}=\frac{1}{5}\,\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-\tfrac{2}{5}}\right\}.
Pelo resultado do Passo 3 (com a=\tfrac{2}{5}) temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-\tfrac{2}{5}}\right\}=e^{\tfrac{2}{5}t}.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{5s-2}\right\}=\frac{1}{5}e^{\tfrac{2}{5}t},\qquad t\ge 0,
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>\tfrac{2}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): aplicar a transformada direta em \displaystyle f(t)=\frac{1}{5}e^{\tfrac{2}{5}t}:
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{5}e^{\tfrac{2}{5}t}\right\}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-\tfrac{2}{5}}=\frac{1}{5s-2},
confirma que encontramos a função correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{\tfrac{2}{5}t}

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