Determine a transformada inversa
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a transformada inversa de Laplace de
, ou seja calcular
. Informação dada: a função no domínio de
é
. Vamos buscar uma função
definida para
tal que
. Não há figura nem outros dados a considerar.
Passo 2
Lembrando a definição e um resultado básico da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge. Um caso importante e muito usado é
. Vamos calcular a transformada de
passo a passo para entender por que ela aparece aqui:
Para que essa integral converja precisamos de
, isto é
. Integrando:
portanto
Passo 3
Da relação anterior obtemos diretamente a transformada inversa padrão:
Esse é o resultado que vamos usar como “peça básica” para inverter a função dada.
Passo 4
Agora manipulo algebricamente a função dada para colocá-la na forma
. Parto de
Fatorando
no denominador:
Observação: aqui eu apenas dividi numerador e denominador por
.
Passo 5
Usando a linearidade da transformada inversa de Laplace (constante fora da transformada passa para fora):
Pelo resultado do Passo 3 (com
) temos
Logo
com região de convergência
.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): aplicar a transformada direta em
:
confirma que encontramos a função correta.