Calcule a transformada de Laplace de f(t) f(t)=e^{t} \operatorname{sen} 3 t
Passo 1
O enunciado pede: Calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{t}\,\operatorname{sen}3t.
Informações dadas:
f(t)=e^{t}\,\operatorname{sen}3t.
Queremos encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a função de s definida pela transformada de Laplace dessa f(t). Não foram dadas outras restrições, então assumimos o domínio usual t\ge 0.
Passo 2
Definição e objetivo. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
onde s é um número complexo e a integral converge para os valores de s na região de convergência. Aqui:
t é a variável temporal (tempo), com t\ge 0.
s é a variável complexa da transformada; a notação \mathcal{L}\{f\}(s) indica a função de s obtida pela integral.
Nosso objetivo é aplicar essa definição a f(t)=e^{t}\sin(3t) e obter uma expressão fechada em termos de s.
Passo 3
Escolha do método. O jeito mais rápido e padrão é usar a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento):
se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a),
desde que a região de convergência seja deslocada adequadamente. Vou usar essa propriedade porque evita integrais longas e é exatamente o caso: f(t)=e^{t}\cdot \sin(3t) tem a=1 e g(t)=\sin(3t). Antes, preciso lembrar (e mostrar) qual é \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s).
Passo 4
Cálculo da transformada de \sin(bt) (aqui b=3). Vamos obter
com a condição de convergência \operatorname{Re}(s)>0 para que e^{-st} faça a integral convergir. Vamos calcular I(s) por integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: escolha u=\sin(bt) e dv=e^{-st}dt. Então du=b\cos(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
Calcule J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt por integração por partes: tome u=\cos(bt), dv=e^{-st}dt. Então du=-b\sin(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Dessa forma
Seja p=s-1. Usando o resultado do Passo 4 com b=3 e p no lugar de s, obtemos \dfrac{3}{p^{2}+9}=\dfrac{3}{(s-1)^{2}+9}, coincidindo com o anterior. Convergência quando \operatorname{Re}(p)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>1.