Calcule a transformada de Laplace de f(t)
f(t)=e^{t} \operatorname{sen} 3 t

Passo 1

O enunciado pede: Calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{t}\,\operatorname{sen}3t.
Informações dadas:
f(t)=e^{t}\,\operatorname{sen}3t.
Queremos encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a função de s definida pela transformada de Laplace dessa f(t). Não foram dadas outras restrições, então assumimos o domínio usual t\ge 0.

Passo 2

Definição e objetivo. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é um número complexo e a integral converge para os valores de s na região de convergência. Aqui:
  • t é a variável temporal (tempo), com t\ge 0.
  • s é a variável complexa da transformada; a notação \mathcal{L}\{f\}(s) indica a função de s obtida pela integral.
    Nosso objetivo é aplicar essa definição a f(t)=e^{t}\sin(3t) e obter uma expressão fechada em termos de s.

Passo 3

Escolha do método. O jeito mais rápido e padrão é usar a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento):
se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a),
desde que a região de convergência seja deslocada adequadamente. Vou usar essa propriedade porque evita integrais longas e é exatamente o caso: f(t)=e^{t}\cdot \sin(3t) tem a=1 e g(t)=\sin(3t). Antes, preciso lembrar (e mostrar) qual é \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s).

Passo 4

Cálculo da transformada de \sin(bt) (aqui b=3). Vamos obter
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt,
com a condição de convergência \operatorname{Re}(s)>0 para que e^{-st} faça a integral convergir. Vamos calcular I(s) por integração por partes duas vezes.
  1. Primeira integração por partes: escolha u=\sin(bt) e dv=e^{-st}dt. Então du=b\cos(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
I(s)=\left.[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin(bt)]_{0}^{\infty}\right.+\dfrac{b}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt.
O termo de fronteira vale zero quando \operatorname{Re}(s)>0 (pois e^{-st} anula a oscilação em t\to\infty) e em t=0 é nulo também, logo fica
I(s)=\dfrac{b}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt.
  1. Calcule J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt por integração por partes: tome u=\cos(bt), dv=e^{-st}dt. Então du=-b\sin(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Dessa forma
J(s)=\left.[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos(bt)]_{0}^{\infty}\right.-\left(-\dfrac{b}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt\right).
O termo de fronteira dá 1/s (pois em t\to\infty vai a zero e em t=0 temos -(-1/s\cdot 1)=1/s). Assim
J(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{b}{s}I(s).
  1. Volte para I(s): usamos I(s)=\dfrac{b}{s}J(s). Substituindo J(s) obtemos
I(s)=\dfrac{b}{s}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{b}{s}I(s)\right).
Multiplicando e isolando I(s):
I(s)=\dfrac{b}{s^{2}}-\dfrac{b^{2}}{s^{2}}I(s)\quad\Rightarrow\quad I(s)\left(1+\dfrac{b^{2}}{s^{2}}\right)=\dfrac{b}{s^{2}}.
Portanto
I(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}},
com convergência para \operatorname{Re}(s)>0. Concluímos que
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento exponencial com a=1 e b=3. Se \mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\dfrac{3}{s^{2}+9}, então
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}(s)=\left.\dfrac{3}{s^{2}+9}\right|_{s\mapsto s-1}=\dfrac{3}{(s-1)^{2}+9}.
A região de convergência desloca-se igualmente, passando de \operatorname{Re}(s)>0 para \operatorname{Re}(s-1)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 6

Verificação rápida por substituição na definição: diretamente
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{t}\sin(3t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\sin(3t)\,dt.
Seja p=s-1. Usando o resultado do Passo 4 com b=3 e p no lugar de s, obtemos \dfrac{3}{p^{2}+9}=\dfrac{3}{(s-1)^{2}+9}, coincidindo com o anterior. Convergência quando \operatorname{Re}(p)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>1.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{(s-1)^{2}+9},\quad \operatorname{Re}(s)>1

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