Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função f, onde:
f(x) \doteq(2 \cdot x+3)^{11}, \quad para x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma primitiva (ou antiderivada) de f, onde
f(x) \doteq (2\cdot x+3)^{11},\qquad x\in\mathbb{R}.
Ou seja: precisamos achar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x)=(2x+3)^{11}. As informações dadas são exatamente a expressão de f(x) e o domínio \mathbb{R}. Não há outras condições (por exemplo valor inicial), então a primitiva aparecerá com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Explico uma ferramenta fundamental que vamos usar: a substituição (ou “u-substitution”), que é a reversão da regra da cadeia. Também usamos a regra da potência para integrais:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui é útil notar que, se dentro do parêntese temos uma função linear ax+b, a substituição u=ax+b simplifica a integral. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.

Passo 3

Definimos a substituição:
u = 2x+3.
Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Agora substituímos u e dx na integral de f:
\int (2x+3)^{11}\,dx = \int u^{11}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{11}\,du.
A razão para isso é que u^{11} representa a parte (2x+3)^{11} e o fator \frac{1}{2} vem de trocar dx por \frac{du}{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência (com n=11):
\frac{1}{2}\int u^{11}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{12}}{12}+C = \frac{u^{12}}{24}+C.
Expliquei cada passo: ao integrar u^{11} soma-se 1 ao expoente (fica 12) e divide-se por esse novo expoente ( 12). O fator \tfrac{1}{2} multiplica o resultado, dando \tfrac{1}{24}.

Passo 5

Voltamos à variável original x substituindo u=2x+3:
F(x)=\frac{(2x+3)^{12}}{24}+C.
Para ter certeza, verificamos diferenciando (aplicando a regra da cadeia):
F'(x)=\frac{12(2x+3)^{11}\cdot 2}{24}=\frac{24(2x+3)^{11}}{24}=(2x+3)^{11},
que é exatamente f(x). Portanto F é uma primitiva válida.

Passo 6

Dica rápida e geral que costuma cair em prova: para qualquer a\neq 0 e n\neq -1,
\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C.
No nosso caso a=2 e n=11, então a fórmula dá \dfrac{(2x+3)^{12}}{2\cdot 12}=\dfrac{(2x+3)^{12}}{24}. Um exemplo extra: \int(3x+1)^5dx=\dfrac{(3x+1)^6}{3\cdot 6}+C=\dfrac{(3x+1)^6}{18}+C.

Passo 7

Você conseguiu! O procedimento chave é reconhecer a parte interna linear 2x+3, fazer u=2x+3, transformar a integral e aplicar a regra da potência. Na prova, execute exatamente esses passos e verifique sempre derivando no final para confirmar.

Resposta

\displaystyle \frac{(2x+3)^{12}}{24}+C

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