Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função
, onde:
para
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma primitiva (ou antiderivada) de
, onde
Ou seja: precisamos achar uma função
tal que
. As informações dadas são exatamente a expressão de
e o domínio
. Não há outras condições (por exemplo valor inicial), então a primitiva aparecerá com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Explico uma ferramenta fundamental que vamos usar: a substituição (ou “u-substitution”), que é a reversão da regra da cadeia. Também usamos a regra da potência para integrais:
Aqui é útil notar que, se dentro do parêntese temos uma função linear
, a substituição
simplifica a integral. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.
Passo 3
Definimos a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Agora substituímos
e
na integral de
:
A razão para isso é que
representa a parte
e o fator
vem de trocar
por
.
Passo 4
Aplicamos a regra da potência (com
):
Expliquei cada passo: ao integrar
soma-se 1 ao expoente (fica
) e divide-se por esse novo expoente (
). O fator
multiplica o resultado, dando
.
Passo 5
Voltamos à variável original
substituindo
:
Para ter certeza, verificamos diferenciando (aplicando a regra da cadeia):
que é exatamente
. Portanto
é uma primitiva válida.
Passo 6
Dica rápida e geral que costuma cair em prova: para qualquer
e
,
No nosso caso
e
, então a fórmula dá
. Um exemplo extra:
.
Passo 7
Você conseguiu! O procedimento chave é reconhecer a parte interna linear
, fazer
, transformar a integral e aplicar a regra da potência. Na prova, execute exatamente esses passos e verifique sempre derivando no final para confirmar.