Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função f, onde:
f(x) \doteq \frac{\cos (t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)}, \quad para \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{k \cdot \pi ; k \in \mathbb{Z}\}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva de f, onde
f(x) \doteq \frac{\cos(t)}{-\operatorname{sen}^{2}(t)},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{k\pi;\; k\in\mathbb{Z}\}.
Informações relevantes: a função está escrita em termos de t (vou trabalhar com a variável t), e o domínio exclui os pontos em que \sin(t)=0. Não farei suposições além disso.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de forma mais confortável usando a notação padrão em TeX ( \sin em vez de \operatorname{sen}):
f(t)=\frac{\cos(t)}{-\sin^{2}(t)} = -\frac{\cos t}{\sin^{2} t}.
Isto deixa claro o integrando que precisamos antiderivar: -\dfrac{\cos t}{\sin^{2}t}.

Passo 3

Escolho uma substituição simples e natural: definir
u=\sin t.
Por que essa escolha? Porque aparece \sin t ao quadrado no denominador e \cos t\,dt no numerador — a derivada de \sin t é \cos t, então a substituição vai transformar o integral numa forma muito mais simples.

Passo 4

Calculo o diferencial de u:
du = \cos t\,dt.
Logo, \cos t\,dt = du. Substituindo no integral original temos
\int -\frac{\cos t}{\sin^{2}t}\,dt = -\int \frac{1}{u^{2}}\,du,
pois \sin t = u e \cos t\,dt = du.

Passo 5

Agora integro em u. Recorde rápido: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1}+C.
Como havia um sinal negativo na frente do integral, temos
-\int u^{-2}\,du = -\big(-u^{-1}+C\big) = u^{-1} + C.

Passo 6

Voltando à variável original: lembrando que u=\sin t, a primitiva encontrada em termos de u é u^{-1}+C. Substituindo u=\sin t obtemos a primitiva desejada em t (vou colocar a forma final somente na seção de resposta, conforme pedido).

Passo 7

Observação sobre o domínio: a primitiva envolve 1/\sin t, então é necessário \sin t\neq 0, exatamente o que o enunciado já garantiu com o domínio \mathbb{R}\setminus\{k\pi;\;k\in\mathbb{Z}\}. Assim tudo está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sin t} + C

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