Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva da função
, onde:
para
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva de
, onde
com domínio
.
Informações relevantes: a função está escrita em termos de (vou trabalhar com a variável
), e o domínio exclui os pontos em que
. Não farei suposições além disso.
Informações relevantes: a função está escrita em termos de
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de forma mais confortável usando a notação padrão em TeX (
em vez de
):
Isto deixa claro o integrando que precisamos antiderivar:
.
Passo 3
Escolho uma substituição simples e natural: definir
Por que essa escolha? Porque aparece
ao quadrado no denominador e
no numerador — a derivada de
é
, então a substituição vai transformar o integral numa forma muito mais simples.
Passo 4
Calculo o diferencial de
:
Logo,
. Substituindo no integral original temos
pois
e
.
Passo 5
Agora integro em
. Recorde rápido: para qualquer
,
No nosso caso
, então
Como havia um sinal negativo na frente do integral, temos
Passo 6
Voltando à variável original: lembrando que
, a primitiva encontrada em termos de
é
. Substituindo
obtemos a primitiva desejada em
(vou colocar a forma final somente na seção de resposta, conforme pedido).
Passo 7
Observação sobre o domínio: a primitiva envolve
, então é necessário
, exatamente o que o enunciado já garantiu com o domínio
. Assim tudo está consistente.