Calcule a transformada de Laplace
f(t)=\left\{\begin{array}{lc}t & 0 \leq t<2, \\\ (t-2)^{2}, & t \geq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t<2,\\\ (t-2)^{2}, & t\ge2. \end{cases}
O conteúdo é transformada de Laplace de função definida por partes. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e dividir a integral em dois trechos onde a definição muda.

Passo 2

Escrevemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt +\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para a primeira integral usamos integração por partes com u=t e dv=e^{-st}dt. Isso dá
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1}{s^{2}}-e^{-2s}\,\frac{1+2s}{s^{2}}.

Passo 4

Na segunda integral fazemos a mudança de variável u=t-2, t=u+2. Então
\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}\,dt =e^{-2s}\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-su}\,du =e^{-2s}\,\frac{2}{s^{3}}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{s^{2}}-e^{-2s}\frac{1+2s}{s^{2}} +e^{-2s}\frac{2}{s^{3}} =\frac{1}{s^{2}} +e^{-2s}\Bigl(-\frac{1+2s}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}\Bigr).
No parêntese simplifica para \frac{2 - s -2s^{2}}{s^{3}}.

Passo 6

Como forma compacta podemos juntar tudo num único denominador:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{s+(2 - s -2s^{2})e^{-2s}}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{s^{2}} +e^{-2s}\,\frac{2 - s -2s^{2}}{s^{3}} \;=\;\frac{s+(2 - s -2s^{2})e^{-2s}}{s^{3}}.

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