Resolva os problemas de valor inicial
y^{\prime \prime}+y=u_{\pi / 2}(t)-u_{2 \pi}(t)+3 \delta_{3 \pi / 2}(t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = u_{\pi/2}(t) - u_{2\pi}(t) + 3\,\delta_{3\pi/2}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo é equação diferencial linear com entrada em degrau unitário deslocado e impulso, e vamos usar a transformada de Laplace e o teorema de translação no tempo para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na equação e usando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, com condições iniciais nulas, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} + \mathcal{L}\{y\} = (s^2+1)\,Y(s) = \mathcal{L}\{u_{\pi/2}\} - \mathcal{L}\{u_{2\pi}\} + 3\,\mathcal{L}\{\delta_{3\pi/2}\}.
Logo,
Y(s) = \frac{F(s)}{s^2+1},
onde F(s) é a transformada da entrada.

Passo 3

Sabendo que \mathcal{L}\{u_a(t)\}=e^{-a s}/s e \mathcal{L}\{\delta_a(t)\}=e^{-a s}, temos
F(s) = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s} - \frac{e^{-2\pi s}}{s} + 3\,e^{-\frac{3\pi}{2}s}.
Portanto
Y(s) = \frac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s\,(s^2+1)} - \frac{e^{-2\pi s}}{s\,(s^2+1)} + 3\,\frac{e^{-\frac{3\pi}{2}s}}{s^2+1}.

Passo 4

Para inverter os termos com 1/[s(s^2+1)] fazemos a fração parcial
\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B\,s + C}{s^2+1}.
Multiplicando e igualando coeficientes, encontra-se A=1, B=-1, C=0, logo
\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1}.

Passo 5

Invertendo termo a termo:
  1. Para e^{-a s}/[s(s^2+1)], usamos o teorema de translação:
    \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}\Bigr\} = 1 - \cos t \quad\Longrightarrow\quad [\,1-\cos(t-a)\,]\,u_a(t).
  2. Para 3\,e^{-\frac{3\pi}{2}s}/(s^2+1), como \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t,
    obtemos
    3\,\sin\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\,u_{3\pi/2}(t).
Portanto, juntando tudo,
y(t) = \bigl[1-\cos(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr]\,u_{\pi/2}(t) - \bigl[1-\cos(t-2\pi)\bigr]\,u_{2\pi}(t) + 3\,\sin\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\,u_{3\pi/2}(t).

Resposta

y(t) = \bigl[1-\cos(t-\tfrac{\pi}{2})\bigr]\,u_{\pi/2}(t) - \bigl[1-\cos(t-2\pi)\bigr]\,u_{2\pi}(t) + 3\,\sin\bigl(t-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\,u_{3\pi/2}(t).

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