Resolva os problemas de valor inicial
2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=\delta_{\pi / 6}(t) \sin t, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
2y''(t)+y'(t)+4y(t)=\delta_{\pi/6}(t)\,\sin t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde \delta_{\pi/6}(t)=\delta(t-\pi/6). Vamos usar a transformada de Laplace, lembrando que
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
e
\mathcal{L}\{\delta(t-a)f(t)\}=e^{-as}f(a).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados da equação e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
2\bigl[s^2Y(s)\bigr]+ \bigl[sY(s)\bigr]+4Y(s) =\mathcal{L}\{\delta(t-\pi/6)\sin t\} =e^{-\tfrac{\pi s}{6}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Como \sin(\pi/6)=1/2, isso vira
(2s^2 + s +4)\,Y(s)=\frac12\,e^{-\tfrac{\pi s}{6}}.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
Y(s) =\frac{1}{2}\,\frac{e^{-\tfrac{\pi s}{6}}}{2s^2+s+4} =e^{-\tfrac{\pi s}{6}}\;\frac{1}{2(2s^2+s+4)}.

Passo 4

Para inverter, escrevemos
2s^{2}+s+4 =2\Bigl[(s+\tfrac{1}{4})^{2}+\tfrac{31}{16}\Bigr] =2\bigl[(s+\tfrac{1}{4})^{2}+\omega^{2}\bigr],
onde
\omega^{2}=\tfrac{31}{16}, ou seja \omega=\tfrac{\sqrt{31}}{4}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t/4}\sin(\omega t)\} =\frac{\omega}{(s+\tfrac{1}{4})^{2}+\omega^{2}},
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\frac{1}{2\bigl[(s+\tfrac{1}{4})^{2}+\omega^{2}\bigr]} =\frac{1}{2\omega}\,\mathcal{L}\{e^{-t/4}\sin(\omega t)\}.

Passo 5

Juntando e usando o teorema do deslocamento no tempo,
Y(s) =e^{-\tfrac{\pi s}{6}}\;\frac{1}{2}\;\frac{1}{2[(s+\tfrac14)^2+\omega^2]} =\;e^{-\tfrac{\pi s}{6}}\;\frac{1}{2\omega}\;\frac12\;\mathcal{L}\{e^{-t/4}\sin(\omega t)\}.
Logo,
y(t) =\frac{1}{4\omega}\;e^{-\tfrac{(t-\pi/6)}{4}}\, \sin\!\bigl[\omega\,(t-\tfrac{\pi}{6})\bigr]\; u\bigl(t-\tfrac{\pi}{6}\bigr),
onde u é o degrau de Heaviside.

Resposta

\boxed{ y(t) =\frac{1}{4\,(\sqrt{31}/4)} \;e^{-\tfrac{t-\pi/6}{4}} \;\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{4}\,(t-\tfrac{\pi}{6})\Bigr) \;u\Bigl(t-\tfrac{\pi}{6}\Bigr). }

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