Calcule a transformada de Laplace.
f(t)=t^2 u2(t).

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f(t) = t^2 u_2(t), onde u_2(t) = u(t-2) é a função degrau de Heaviside deslocada. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos precisar da definição integral da transformada e da propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Pela definição de Laplace,
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt,
e como f(t)=0 para t<2 (devido a u(t-2)), a integral vira
Lt^2u(t-2)=integral2^inftyt^2e^-st,dt

Passo 3

Para facilitar, fazemos a mudança de variável tau = t-2, logo t=tau+2 e dt=dtau. Os limites passam a ser de 0 a infty, e extraímos e^-2s em razão do expoente:
integral2^inftyt^2e^-st,dt=integral0^infty(tau+2)^2e^-s(tau+2),dtau=e^-2sintegral0^infty(tau+2)^2e^-stau,dtau

Passo 4

Expandindo ( tau+2)^2=tau^2+4tau+4) e usando
integral0^inftytau^n e^-stau,dtau=n!s^n+1, temos
integral0^infty(tau^2+4tau+4)e^-stau,dtau=2s^3+4cdot1s^2+4cdot1s

Passo 5

Multiplicando por e^-2s, obtemos a transformada desejada.

Resposta

Lt^2u(t-2)=e^-2sl(2s^3+4s^2+4sr)

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