Derive e simplifique.
Y(s)=e^s2, Y^(n)(s)= ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de Y(s)=e^s/2. Vamos usar derivação de exponencial e a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar a derivada de primeira ordem, aplicamos a regra da cadeia: derivada de e^s/2 é ele mesmo vezes a derivada de s/2. Assim, temos
Y'(s)=e^s/2cdotddsl(tfracs2r)=e^s/2cdottfrac12=tfrac12e^s/2

Passo 3

Repetindo para a segunda derivada, derivamos Y'(s)=tfrac12e^s/2, cada vez puxamos um fator tfrac12:
Y''(s)=tfrac12cdottfrac12e^s/2=(tfrac12)^2e^s/2

Passo 4

Vendo o padrão, a cada derivação aparece um fator tfrac12. Logo, pela propriedade das derivadas de ordem maior, para todo n natural:
Y^(n)(s)=(tfrac12)^n e^s/2

Resposta

Y^(n)(s)=(tfrac12)^n e^s/2

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