Esboce a curva representada pelas equações paramétricas dadas, incluindo sua orientação; e determine sua equação cartesiana.
x(t)=t+t^-1 ; y(t)=t-t^-1 [dica:Eleve ao quadrado e subtraia.]

Passo 1

Temos as equações paramétricas x(t)=t+t^-1 e y(t)=t-t^-1. O conteúdo é passar de forma paramétrica para forma cartesiana e esboçar a curva com orientação. Para isso vamos usar a dica de elevar ao quadrado e subtrair.

Passo 2

Elevamos cada uma ao quadrado:
x^2=(t+t^-1)^2=t^2+2+t^-2
y^2=(t-t^-1)^2=t^2-2+t^-2
Agora subtraímos y^2 de x^2:
x^2 - y^2=(t^2+2+t^-2)-(t^2-2+t^-2)=4

Passo 3

Reconhecemos que
x^2 - y^2 = 4
é a equação cartesiana de uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso no eixo x e assíntotas y=pm x.

Passo 4

Para a orientação, analisamos alguns valores de t:
  • Quando t>0, ao crescer de 0⁺ a +infty o ponto percorre o ramo direito da hipérbole, indo de (+infty,-infty) para (2,0) até (+infty,+infty).
  • Quando t<0, ao aumentar de -infty a 0⁻ o ponto percorre o ramo esquerdo, indo de (-infty,-infty) para (-2,0) até (-infty,+infty).
    Assim, cada ramo é percorrido de baixo para cima.

Resposta

Equação cartesiana:
x^2 - y^2 = 4
É uma hipérbole com centro na origem e assíntotas y=pm x. O ramo direito (para t>0) é percorrido de baixo para cima, assim como o ramo esquerdo (para t<0).

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