Calcule a transformada de Laplace da função:
f(t)=cos raiz2 t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=cos(raiz2,t)
Isso é assunto de Equações Diferenciais / Transformadas de Laplace.
O que a gente vai precisar:
  • A definição da transformada de Laplace:
  • Um pouquinho de integração por partes para resolver a integral.

Passo 2

Começamos então pela definição:
F(s)=integral0^inftye^-stcos(raiz2,t),dt
Para facilitar, chamamos I=integral0^inftye^-stcos(a,t),dt e escrevemos

Passo 3

Agora, bora usar integração por partes duas vezes. Além de
I=integral0^inftye^-stcos(a,t),dt,
definimos também
J=integral0^inftye^-stsin(a,t),dt
  1. Integral para I=l[-tfrac1s e^-stcos(a,t)r]0^infty -integral0^inftyl(-tfrac1s e^-str)l(-asin(a,t)r)dt :
    • Pegamos I=1s-asJ , J=l[-tfrac1s e^-stsin(a,t)r]0^infty -integral0^inftyl(-tfrac1s e^-str)l(acos(a,t)r)dt .
    • Então J=asI e I=1s-asJ, J=asI .
    • Aplicando partes: I=1s-asl(asIr) =1s-a^2s^2I Longrightarrow Il(1+a^2s^2r)=1s
    • O termo de contorno vale I=1/s1 + tfraca^2s^2 =1/stfracs^2+a^2s^2 =ss^2+a^2 .
    • O resto dá .
    • Logo
  2. Integral para :
    • Pegamos , .
    • Então e .
    • Fazendo partes:
    • Contorno é zero, e sobra
  3. Agora a gente resolve o sistema
    Substituindo em :
    Portanto

Passo 4

Lembrando que Lcos(raiz2,t)(s) =I=ss^2+(raiz2)^2 =ss^2+2 , temos

Resposta

boxed Lcos(raiz2t)(s)=ss^2+2

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