Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
e^{-t} * e^{t} \cos (t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da convolução e^{-t} * e^{t}\cos(t).
Informações dadas: a função f(t)=e^{-t} e a função g(t)=e^{t}\cos(t).
Pergunta explícita: calcular \mathcal{L}\{\,e^{-t} * e^{t}\cos(t)\}.

Passo 2

Definição de convolução (para funções causais):
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Teorema útil (propriedade da transformada de Laplace para convolução): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\cdot G(s),
desde que as regiões de convergência permitam o produto. Vou usar essa propriedade porque ela torna o cálculo muito mais simples: em vez de calcular a integral dupla da convolução no tempo, calculamos as transformadas individuais e multiplicamos.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{e^{-t}\}. Por definição,
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial convergente quando \operatorname{Re}(s+1)>0, ou seja quando \operatorname{Re}(s)>-1. Avaliando:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s+1)t}}{-(s+1)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+1}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1},\qquad \operatorname{Re}(s)>-1.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}. Uso a propriedade de deslocamento: se H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} então \mathcal{L}\{e^{at}h(t)\}(s)=H(s-a). Tomo h(t)=\cos t cuja transformada é
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
Aplicando o deslocamento com a=1:
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
A região de convergência para essa transformada é \operatorname{Re}(s)>1 (porque foi deslocada pela constante a=1).

Passo 5

Agora aplico o teorema da convolução: a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais. Assim
\mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)\cdot\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}(s).
Substituindo os resultados:
\mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\frac{1}{s+1}\cdot\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Posso escrever o denominador quadrático expandido se preferir:
(s-1)^{2}+1=s^{2}-2s+2,
logo uma forma alternativa é
\mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s+1)\bigl(s^{2}-2s+2\bigr)}.
A região de convergência válida para o produto é a interseção das regiões individuais, que é \operatorname{Re}(s)>1.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-t} * e^{t}\cos t\}(s)=\frac{s-1}{(s+1)\bigl((s-1)^{2}+1\bigr)}\
Região de convergência: \operatorname{Re}(s)>1

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