Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da convolução
.
Informações dadas: a função e a função
.
Pergunta explícita: calcular .
Informações dadas: a função
Pergunta explícita: calcular
Passo 2
Definição de convolução (para funções causais):
Teorema útil (propriedade da transformada de Laplace para convolução): se
e
, então
desde que as regiões de convergência permitam o produto. Vou usar essa propriedade porque ela torna o cálculo muito mais simples: em vez de calcular a integral dupla da convolução no tempo, calculamos as transformadas individuais e multiplicamos.
Passo 3
Calcular
. Por definição,
Essa integral é uma integral exponencial convergente quando
, ou seja quando
. Avaliando:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Uso a propriedade de deslocamento: se
então
. Tomo
cuja transformada é
Aplicando o deslocamento com
:
A região de convergência para essa transformada é
(porque foi deslocada pela constante
).
Passo 5
Agora aplico o teorema da convolução: a transformada da convolução é o produto das transformadas individuais. Assim
Substituindo os resultados:
Posso escrever o denominador quadrático expandido se preferir:
logo uma forma alternativa é
A região de convergência válida para o produto é a interseção das regiões individuais, que é
.
Resposta
Região de convergência: