Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
1 * t^{3}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da convolução 1 * t^{3}.
Informações dadas: a função constante f(t)=1 (para t\ge0) e a função g(t)=t^{3} (para t\ge0).
Pergunta explícita: calcular \mathcal{L}\{(1 * t^{3})(t)\}(s).

Passo 2

Definição de convolução que vamos usar: para duas funções f e g,
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Também usaremos o teorema da transformada de Laplace para convoluções, que diz:
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s),
desde que as transformadas existam (tipicamente para \operatorname{Re}(s) grande o suficiente). Vou usar esse teorema porque é o caminho mais curto e limpo: em vez de calcular a integral de convolução e depois a transformada, posso transformar cada função separadamente e multiplicar — e depois faço a verificação direta pelo cálculo da própria convolução para você ter confiança.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{1\}(s). Pela definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial básica. Integramos:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Logo
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{t^{3}\}(s). Usamos a mudança de variável que leva à função gama ou a fórmula conhecida \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiro n\ge0. Faço a mudança u=st para justificar:
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.
Com u=st temos t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^{3} e^{-u}\frac{du}{s}=\frac{1}{s^{4}}\int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-u}\,du.
O integral \int_{0}^{\infty} u^{3} e^{-u}\,du é \Gamma(4)=3!=6. Portanto
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{6}{s^{4}}.

Passo 5

Aplicar o teorema da convolução: multiplicamos as transformadas obtidas nos passos anteriores:
\mathcal{L}\{1 * t^{3}\}(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)\cdot\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{6}{s^{5}}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): calcular diretamente a convolução e depois a transformada. Primeiro a convolução
(1*t^{3})(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot (t-\tau)^{3}\,d\tau=\int_{0}^{t} (t-\tau)^{3}\,d\tau.
Faço a mudança u=t-\tau. Quando \tau=0 temos u=t; quando \tau=t temos u=0. A integral vira
\int_{t}^{0} u^{3}(-du)=\int_{0}^{t} u^{3}\,du=\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{4}.
Logo (1*t^{3})(t)=\dfrac{t^{4}}{4}. Agora transformo:
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{4}}{4}\right\}(s)=\frac{1}{4}\mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{4!}{s^{5}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{6}{s^{5}},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{6}{s^{5}}

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