Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da convolução
.
Informações dadas: a função constante (para
) e a função
(para
).
Pergunta explícita: calcular .
Informações dadas: a função constante
Pergunta explícita: calcular
Passo 2
Definição de convolução que vamos usar: para duas funções
e
,
Também usaremos o teorema da transformada de Laplace para convoluções, que diz:
desde que as transformadas existam (tipicamente para
grande o suficiente). Vou usar esse teorema porque é o caminho mais curto e limpo: em vez de calcular a integral de convolução e depois a transformada, posso transformar cada função separadamente e multiplicar — e depois faço a verificação direta pelo cálculo da própria convolução para você ter confiança.
Passo 3
Calcular
. Pela definição da transformada de Laplace,
Essa integral é uma integral exponencial básica. Integramos:
válido para
. Logo
Passo 4
Calcular
. Usamos a mudança de variável que leva à função gama ou a fórmula conhecida
para inteiro
. Faço a mudança
para justificar:
Com
temos
e
. Assim
O integral
é
. Portanto
Passo 5
Aplicar o teorema da convolução: multiplicamos as transformadas obtidas nos passos anteriores:
Passo 6
Verificação alternativa (útil para a prova): calcular diretamente a convolução e depois a transformada. Primeiro a convolução
Faço a mudança
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral vira
Logo
. Agora transformo:
confirmando o resultado anterior.