Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
\int_{0}^{t} \operatorname{sen}(u) \cos (t-u) d u

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da convolução
\int_{0}^{t} \operatorname{sen}(u)\,\cos(t-u)\,du.
Informações dadas (que já podemos anotar):
f(t)=\operatorname{sen}(t),\qquad g(t)=\cos(t),
e a expressão é exatamente (f*g)(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(u)\,g(t-u)\,du. O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{(f*g)(t)\}(s).

Passo 2

Definições e ferramenta principal (curta aula):
A transformada de Laplace de uma função h(t) é definida por
\mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,h(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para convergência usamos s real suficientemente grande). A convolução de duas funções f e g é
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(u)\,g(t-u)\,du.
Teorema fundamental que vamos usar (Teorema da convolução):
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s).
Isto diz que a transformada de Laplace transforma convolução em produto — muito prático para esta questão.

Passo 3

Transformadas conhecidas e suas justificativas rápidas:
As transformadas padrão (que podemos provar por integração por partes) são
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Rápida justificativa (esquemática) para \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}: calcular \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt por partes duas vezes leva à equação (s^{2}+1)I=1, de onde I=1/(s^{2}+1). Analogamente para \cos t.

Passo 4

Aplicando o teorema da convolução:
Como a integral dada é (\operatorname{sen}*\cos)(t), sua transformada é produto das transformadas:
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(u)\cos(t-u)\,du\right\}(s) = \mathcal{L}\{\operatorname{sen}\}(s)\cdot\mathcal{L}\{\cos\}(s).
Substituindo os resultados do passo anterior,
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}\}(s)\cdot\mathcal{L}\{\cos\}(s) = \frac{1}{s^{2}+1}\cdot\frac{s}{s^{2}+1} = \frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional mas didática): calcular a convolução no tempo e depois transformar
Usamos a identidade \cos(t-u)=\cos t\cos u+\sin t\sin u. Então
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(u)\cos(t-u)\,du =\cos t\int_{0}^{t}\operatorname{sen}u\cos u\,du+\sin t\int_{0}^{t}\operatorname{sen}^{2}u\,du.
Calculamos as integrais:
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}u\cos u\,du=\frac{1}{2}\sin^{2}t,
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}^{2}u\,du=\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t).
Substituindo,
\text{convolução}=\cos t\cdot\frac{1}{2}\sin^{2}t+\sin t\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t)\right).çã
Como \sin(2t)=2\sin t\cos t, o termo com \sin^{2}t\cos t cancela, sobrando
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(u)\cos(t-u)\,du=\frac{t}{2}\sin t.
Agora aplicamos a transformada: use a propriedade \mathcal{L}\{t\,h(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{h\}(s). Como \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=1/(s^{2}+1), temos
\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2}\sin t\right\}(s)=\frac{1}{2}\left(-\frac{d}{ds}\frac{1}{s^{2}+1}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}},
que coincide com o resultado do passo 4.

Resposta

\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}

Exercícios relacionados