Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da convolução
Informações dadas (que já podemos anotar):
e a expressão é exatamente
. O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Definições e ferramenta principal (curta aula):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa (na prática, para convergência usamos
real suficientemente grande). A convolução de duas funções
e
é
Teorema fundamental que vamos usar (Teorema da convolução):
Isto diz que a transformada de Laplace transforma convolução em produto — muito prático para esta questão.
Passo 3
Transformadas conhecidas e suas justificativas rápidas:
As transformadas padrão (que podemos provar por integração por partes) são
As transformadas padrão (que podemos provar por integração por partes) são
Rápida justificativa (esquemática) para
: calcular
por partes duas vezes leva à equação
, de onde
. Analogamente para
.
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução:
Como a integral dada é , sua transformada é produto das transformadas:
Como a integral dada é
Substituindo os resultados do passo anterior,
Passo 5
Verificação alternativa (opcional mas didática): calcular a convolução no tempo e depois transformar
Usamos a identidade . Então
Usamos a identidade
Calculamos as integrais:
Substituindo,
Como
, o termo com
cancela, sobrando
Agora aplicamos a transformada: use a propriedade
. Como
, temos
que coincide com o resultado do passo 4.