Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\operatorname{sinh} (2 t)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a transformada de Laplace da função \operatorname{sinh}(2t).
Informações dadas: a função é \operatorname{sinh}(2t) definida para t\ge 0. O que se quer é a expressão \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s), isto é, a transformada de Laplace em termos de s.

Passo 2

Vou começar lembrando a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) (geralmente para t\ge 0), a transformada de Laplace é dada por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
desde que a integral impropria convirja. Aqui s é, em geral, um número complexo; para convergência vamos precisar de uma condição em \Re(s) que eu vou determinar durante o cálculo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\operatorname{sinh}(2t)\,dt.
Para simplificar a integral, uso a expressão da função hiperbólica em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(2t)=\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}.

Passo 4

Substituindo essa expressão na integral e colocando o fator 1/2 fora:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr)\,dt.
Distribuindo e^{-s t} dentro do parêntese:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-(s-2)t}-e^{-(s+2)t}\bigr)\,dt.

Passo 5

Agora vou usar a fórmula simples para integrais exponenciais impróprias: se \Re(\alpha)>0 então
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha}.
Essa é uma fórmula fundamental e fácil de verificar: a primitiva de e^{-\alpha t} é -\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}, e ao avaliar no intervalo [0,\infty) obtemos \frac{1}{\alpha} desde que e^{-\alpha t}\to 0 quando t\to\infty, o que exige \Re(\alpha)>0.

Passo 6

Aplicando essa fórmula aos dois termos da integral:
  • Para o primeiro termo temos \alpha=s-2. A integral \int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt vale \dfrac{1}{s-2} desde que \Re(s-2)>0, ou seja, \Re(s)>2.
  • Para o segundo termo temos \alpha=s+2. A integral \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt vale \dfrac{1}{s+2} desde que \Re(s+2)>0, ou seja, \Re(s)>-2.
Como precisamos que ambos os termos existam simultaneamente, a condição de região de convergência é a interseção: \Re(s)>2.
Assim
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+2}\right),\qquad \Re(s)>2.

Passo 7

Agora faço a simplificação algébrica do quociente:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+2}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{s+2-(s-2)}{(s-2)(s+2)}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{4}{s^{2}-4}\right) =\frac{2}{s^{2}-4}.

Passo 8

Também é interessante lembrar a fórmula geral conhecida (que pode ser útil em prova): para a>0,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}-a^{2}},\qquad \Re(s)>a.
No nosso caso a=2, o que confirma o resultado obtido.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}-4},\quad \Re(s)>2

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