Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
. O que se quer é a expressão
, isto é, a transformada de Laplace em termos de
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vou começar lembrando a definição da transformada de Laplace. Para uma função
(geralmente para
), a transformada de Laplace é dada por
desde que a integral impropria convirja. Aqui
é, em geral, um número complexo; para convergência vamos precisar de uma condição em
que eu vou determinar durante o cálculo.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso:
Para simplificar a integral, uso a expressão da função hiperbólica em termos de exponenciais:
Passo 4
Substituindo essa expressão na integral e colocando o fator
fora:
Distribuindo
dentro do parêntese:
Passo 5
Agora vou usar a fórmula simples para integrais exponenciais impróprias: se
então
Essa é uma fórmula fundamental e fácil de verificar: a primitiva de
é
, e ao avaliar no intervalo
obtemos
desde que
quando
, o que exige
.
Passo 6
Aplicando essa fórmula aos dois termos da integral:
- Para o primeiro termo temos
. A integral vale desde que , ou seja, . - Para o segundo termo temos
. A integral vale desde que , ou seja, .
Como precisamos que ambos os termos existam simultaneamente, a condição de região de convergência é a interseção:
.
Assim
Passo 7
Agora faço a simplificação algébrica do quociente:
Passo 8
Também é interessante lembrar a fórmula geral conhecida (que pode ser útil em prova): para
,
No nosso caso
, o que confirma o resultado obtido.