Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
para
.
Informações dadas: a função é .
Pergunta explícita: encontrar , isto é, uma expressão de
que represente a transformada de Laplace dessa função.
Informações dadas: a função é
Pergunta explícita: encontrar
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace, que é a base do que vamos fazer. A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa (na prática, para convergência precisamos de uma condição sobre a parte real de
). Aqui
é a variável de tempo,
é a função original no tempo, e o resultado
é uma função de
.
Passo 3
Uma técnica muito útil e simples para esse tipo de problema é usar a propriedade de deslocamento na variável
: se
, então, para qualquer constante
,
Explicando por que isso vale: aplicando a definição,
que é exatamente
por definição de
. Essa propriedade é muito prática porque evita fazer integrais longas.
Passo 4
Precisamos então da transformada de Laplace da parte não-exponencial, isto é de
. Uma fórmula padrão (que podemos obter por integração ou pela identidade de Euler) é
válida para
. Aqui
é a frequência angular; no nosso caso
. Para convencer você rapidamente: usando
e integrando exponenciais dá
.
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do passo 3 com
e
(pois temos
). Seja
a transformada de
. Então
Substituindo
por
em
obtemos
Passo 6
Podemos simplificar um pouco a expressão do denominador se preferir uma forma polinomial expandida:
Portanto uma forma alternativa equivalente é
Passo 7
Sobre a condição de convergência: a transformada de
exige
. Como substituímos
por
, a condição resultante é
, ou seja
Isso indica para quais valores de
a integral que define a transformada converge.