Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{-2 t} \cdot \cos (5 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,f(t)=e^{-2 t}\cdot\cos(5 t)\, para t\ge 0.
Informações dadas: a função é \,f(t)=e^{-2 t}\cos(5 t)\,.
Pergunta explícita: encontrar \,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\,, isto é, uma expressão de s que represente a transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace, que é a base do que vamos fazer. A transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para convergência precisamos de uma condição sobre a parte real de s). Aqui t é a variável de tempo, g(t) é a função original no tempo, e o resultado \mathcal{L}\{g\}(s) é uma função de s.

Passo 3

Uma técnica muito útil e simples para esse tipo de problema é usar a propriedade de deslocamento na variável s: se \mathcal{L}\{h(t)\}(s)=H(s), então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t}h(t)\}(s)=H(s-a).
Explicando por que isso vale: aplicando a definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} h(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}h(t)\,dt,
que é exatamente H(s-a) por definição de H. Essa propriedade é muito prática porque evita fazer integrais longas.

Passo 4

Precisamos então da transformada de Laplace da parte não-exponencial, isto é de \cos(5 t). Uma fórmula padrão (que podemos obter por integração ou pela identidade de Euler) é
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui \omega é a frequência angular; no nosso caso \omega=5. Para convencer você rapidamente: usando \cos(\omega t)=\tfrac{1}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) e integrando exponenciais dá \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{s-i\omega}+\tfrac{1}{s+i\omega}\big)=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do passo 3 com h(t)=\cos(5 t) e a=-2 (pois temos e^{-2t}). Seja H(s)=\dfrac{s}{s^{2}+25} a transformada de \cos(5t). Então
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\cos(5 t)\}(s)=H(s-(-2))=H(s+2).
Substituindo s por s+2 em H obtemos
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\cos(5 t)\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+25}.

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão do denominador se preferir uma forma polinomial expandida:
(s+2)^{2}+25 = s^{2}+4s+4+25 = s^{2}+4s+29.
Portanto uma forma alternativa equivalente é
\mathcal{L}\{e^{-2 t}\cos(5 t)\}(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+29}.

Passo 7

Sobre a condição de convergência: a transformada de \cos(5t) exige \operatorname{Re}(s)>0. Como substituímos s por s+2, a condição resultante é \operatorname{Re}(s+2)>0, ou seja
\operatorname{Re}(s)>-2.
Isso indica para quais valores de s a integral que define a transformada converge.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-2 t}\cos(5 t)\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+25}=\frac{s+2}{s^{2}+4s+29},\quad \operatorname{Re}(s)>-2

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