Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)= sent u_{2 \pi}(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=\operatorname{sen} t\;u_{2\pi}(t). As informações relevantes que temos são:
  • A função f(t) é igual a \operatorname{sen} t multiplicada pela função degrau deslocada u_{2\pi}(t).
  • Por convenção u_{2\pi}(t) é a função que vale 0 se t<2\pi e vale 1 se t\ge 2\pi.
  • O objetivo é calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt (supondo \Re(s)>0 para garantir convergência).

Passo 2

Entendendo o papel do degrau deslocado u_{2\pi}(t). A função u_{2\pi}(t) “liga” a função \operatorname{sen} t somente a partir de t=2\pi. Em termos práticos,
f(t)=\operatorname{sen} t\;u_{2\pi}(t)=\begin{cases} 0, & t<2\pi,\\[4pt] \operatorname{sen} t, & t\ge 2\pi. \end{cases}
Portanto, pela definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt=\int_{2\pi}^{\infty} e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt.
Vou agora transformar essa integral de maneira que possamos aplicar uma propriedade conhecida (deslocamento no tempo).]

Passo 3

Usando uma identidade trigonométrica para alinhar com o teorema do deslocamento no tempo. Note que
\operatorname{sen} t=\operatorname{sen}\big((t-2\pi)+2\pi\big)=\operatorname{sen}(t-2\pi)\cos(2\pi)+\cos(t-2\pi)\operatorname{sen}(2\pi).
Como \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0, temos a simplificação importante
\operatorname{sen} t=\operatorname{sen}(t-2\pi).
Assim podemos reescrever a função como
f(t)=u_{2\pi}(t)\,\operatorname{sen} t = u_{2\pi}(t)\,\operatorname{sen}(t-2\pi).
Essa forma é exatamente a que aparece no enunciado do teorema de deslocamento: uma função multiplicada por u_a(t) mas com argumento (t-a).

Passo 4

Enunciando a propriedade que vamos usar (segunda propriedade de deslocamento no tempo): se g(t) é uma função definida para t\ge 0 e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{u_a(t)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,G(s),
para \Re(s) na região de convergência. No nosso caso escolhemos a=2\pi e g(t)=\operatorname{sen} t. Assim, se soubermos G(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s), teremos imediatamente
\mathcal{L}\{u_{2\pi}(t)\,\operatorname{sen}(t-2\pi)\}(s)=e^{-2\pi s}\,G(s).

Passo 5

Calcular G(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s) passo a passo. Pela definição,
G(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt,
considerando \Re(s)>0 para garantir que e^{-st} faz a integral convergir. Vamos calcular essa integral por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: tome u=\operatorname{sen} t e dv=e^{-st}dt. Então du=\cos t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
G(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\operatorname{sen} t\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
O termo de fronteira vale zero no infinito (porque e^{-st} vence a oscilação quando \Re(s)>0) e é zero em t=0 pois \operatorname{sen} 0=0. Logo obtemos
G(s)=\frac{1}{s}J(s),
onde definimos J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
Segunda integração por partes para J(s): tome u=\cos t e dv=e^{-st}dt. Então du=-\operatorname{sen} t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
J(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos t\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\operatorname{sen} t\,dt.
O termo de fronteira avaliado dá \;0-(-\tfrac{1}{s}\cos 0)=\tfrac{1}{s}, pois \cos 0=1. Portanto
J(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}G(s).
Substituindo J(s) em G(s)=\dfrac{1}{s}J(s), obtemos
G(s)=\frac{1}{s}\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s}G(s)\right)=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{2}}G(s).
Isolando G(s),
G(s)\left(1-\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s^{2}}\quad\Longrightarrow\quad G(s)\frac{s^{2}-1}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2} e rearranjando,
G(s)(s^{2}-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad G(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
(Observação: a forma padrão conhecida é \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}; aqui \omega=1, portanto G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}.)

Passo 6

Aplicando a propriedade do deslocamento com a=2\pi e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Temos então
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\;u_{2\pi}(t)\}(s)=e^{-2\pi s}\,\frac{1}{s^{2}+1},
válido para \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-2\pi s}}{s^{2}+1}

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