Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
sent
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
. As informações relevantes que temos são:
- A função
é igual a multiplicada pela função degrau deslocada . - Por convenção
é a função que vale se e vale se . - O objetivo é calcular
(supondo para garantir convergência).
Passo 2
Entendendo o papel do degrau deslocado
. A função
“liga” a função
somente a partir de
. Em termos práticos,
Portanto, pela definição da transformada de Laplace,
Vou agora transformar essa integral de maneira que possamos aplicar uma propriedade conhecida (deslocamento no tempo).]
Passo 3
Usando uma identidade trigonométrica para alinhar com o teorema do deslocamento no tempo. Note que
Como
e
, temos a simplificação importante
Assim podemos reescrever a função como
Essa forma é exatamente a que aparece no enunciado do teorema de deslocamento: uma função multiplicada por
mas com argumento
.
Passo 4
Enunciando a propriedade que vamos usar (segunda propriedade de deslocamento no tempo): se
é uma função definida para
e
, então
para
na região de convergência. No nosso caso escolhemos
e
. Assim, se soubermos
, teremos imediatamente
Passo 5
Calcular
passo a passo. Pela definição,
considerando
para garantir que
faz a integral convergir. Vamos calcular essa integral por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale zero no infinito (porque
vence a oscilação quando
) e é zero em
pois
. Logo obtemos
onde definimos
.
Segunda integração por partes para
: tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira avaliado dá
, pois
. Portanto
Substituindo
em
, obtemos
Isolando
,
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando,
(Observação: a forma padrão conhecida é
; aqui
, portanto
.)
Passo 6
Aplicando a propriedade do deslocamento com
e
. Temos então
válido para
.