Se
é uma curva fechada, simples, de classe
por partes e orientada no sentido horário, então
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro ◯
b. Falso ◯
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro ◯
b. Falso ◯
Passo 1
O enunciado dá uma curva fechada, simples, de classe
por partes e orientada no sentido horário, chamada
. Pergunta-se se vale
Informações fornecidas que vamos usar:
- A integral de linha é da forma
com e . - A orientação de
é horária (clockwise). - Não há outras restrições explícitas sobre a posição de
no plano (por ex., se está acima ou abaixo de certas retas)).
Passo 2
Identifico
e
explicitamente:
Vou calcular as derivadas parciais relevantes que aparecem no enunciado de Green/rotacional.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais:
Logo o “rotacional” usável em Green é
Passo 4
Explico rapidamente o que diz o Teorema de Green (aula curtinha): se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém o interior
de
e se
é a fronteira de
com orientação positiva (contra‑horária), então
Se a orientação for horária (clockwise), o lado esquerdo muda de sinal, isto é a integral de linha horária vale o negativo da integral de linha contra‑horária. Portanto, se as hipóteses de Green valem e
, a integral de linha (em qualquer orientação) é
.
Passo 5
Mas atenção: Green só pode ser aplicado quando
e suas derivadas parciais são contínuas em uma região aberta que contém todo o interior
de
. Portanto precisamos checar o domínio de
para ver se essas hipóteses são satisfeitas.
Passo 6
Estudo do domínio de
. A função logaritmo exige argumento positivo, então precisamos de
Factorizando,
Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Assim
Portanto
(e suas derivadas) não estão definidas em todas as linhas horizontais:
e
; além disso entre
o argumento é negativo e
não é real. A derivada em
é
que também é indefinida quando
.
Passo 7
Conclusão lógica: embora o rotacional seja identicamente zero onde
são diferenciáveis, não podemos aplicar Green de forma automática para qualquer curva
, porque muitas curvas fechadas simples têm interior que intercepta a faixa
ou atravessa as retas
ou
, onde
não está definida. Para ver que a afirmação universal é falsa, basta um contra‑exemplo: tome
como um pequeno círculo centrado em
com raio
. Esse círculo é fechado, simples e
por partes, orientado horariamente, mas para qualquer ponto do círculo temos
, logo
e
não é real sobre
. A integral proposta, então, não é sequer definida nesse caso — portanto não pode ser igual a
como afirmação universal. Assim a afirmação “então a integral = 0” como proposta sem hipóteses adicionais é falsa.
Passo 8
Observação final útil para a prova (motivação e dica): se em vez disso
for uma curva cuja região interior
está inteiramente contida em
ou inteiramente em
(ou seja, evita as faixas onde
é indefinida) e
for simplesmente conexa, então
e
são
em um aberto contendo
, podemos aplicar Green e, como o rotacional é zero, a integral fechada vale
(a orientação horária não altera esse valor porque
). Mas como o enunciado não exige essa hipótese sobre a posição de
, a afirmação geral é falsa.
Resposta
b. Falso