Se C é uma curva fechada, simples, de classe C^{1} por partes e orientada no sentido horário, então
\int_{C}\left(\cos \left(x^{2}+1\right)-2\right) d x+\ln \left(y^{4}-y\right) d y=0 ?
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro ◯
b. Falso ◯

Passo 1

O enunciado dá uma curva fechada, simples, de classe C^{1} por partes e orientada no sentido horário, chamada C. Pergunta-se se vale
\int_{C}\bigl(\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)-2\bigr)\,dx+\ln\bigl(y^{4}-y\bigr)\,dy=0.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A integral de linha é da forma \displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=\cos(x^{2}+1)-2 e Q(x,y)=\ln(y^{4}-y).
  • A orientação de C é horária (clockwise).
  • Não há outras restrições explícitas sobre a posição de C no plano (por ex., se está acima ou abaixo de certas retas)).

Passo 2

Identifico P e Q explicitamente:
P(x,y)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)-2,\qquad Q(x,y)=\ln\bigl(y^{4}-y\bigr).
Vou calcular as derivadas parciais relevantes que aparecem no enunciado de Green/rotacional.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=0\quad\text{(pois \(Q\) depende só de \(y\))}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\text{(pois \(P\) depende só de \(x\))}.óó
Logo o “rotacional” usável em Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.

Passo 4

Explico rapidamente o que diz o Teorema de Green (aula curtinha): se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém o interior D de C e se C é a fronteira de D com orientação positiva (contra‑horária), então
\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Se a orientação for horária (clockwise), o lado esquerdo muda de sinal, isto é a integral de linha horária vale o negativo da integral de linha contra‑horária. Portanto, se as hipóteses de Green valem e \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0, a integral de linha (em qualquer orientação) é 0.

Passo 5

Mas atenção: Green só pode ser aplicado quando P,Q e suas derivadas parciais são contínuas em uma região aberta que contém todo o interior D de C. Portanto precisamos checar o domínio de Q(y)=\ln(y^{4}-y) para ver se essas hipóteses são satisfeitas.

Passo 6

Estudo do domínio de Q. A função logaritmo exige argumento positivo, então precisamos de
y^{4}-y>0.
Factorizando,
y^{4}-y=y(y^{3}-1)=y(y-1)(y^{2}+y+1).
Como y^{2}+y+1>0 para todo y\in\mathbb{R}, o sinal de y^{4}-y é o mesmo de y(y-1). Assim
y^{4}-y>0 \iff y<0\\ \text{ou}\\ y>1.
Portanto Q (e suas derivadas) não estão definidas em todas as linhas horizontais: y=0 e y=1; além disso entre 0<y<1 o argumento é negativo e Q não é real. A derivada em y é
\frac{d}{dy}\ln(y^{4}-y)=\frac{4y^{3}-1}{y^{4}-y},
que também é indefinida quando y^{4}-y=0.

Passo 7

Conclusão lógica: embora o rotacional seja identicamente zero onde P,Q são diferenciáveis, não podemos aplicar Green de forma automática para qualquer curva C, porque muitas curvas fechadas simples têm interior que intercepta a faixa 0<y<1 ou atravessa as retas y=0 ou y=1, onde Q não está definida. Para ver que a afirmação universal é falsa, basta um contra‑exemplo: tome C como um pequeno círculo centrado em (0,\tfrac{1}{2}) com raio r<\tfrac{1}{2}. Esse círculo é fechado, simples e C^{1} por partes, orientado horariamente, mas para qualquer ponto do círculo temos 0<y<1, logo y^{4}-y<0 e Q não é real sobre C. A integral proposta, então, não é sequer definida nesse caso — portanto não pode ser igual a 0 como afirmação universal. Assim a afirmação “então a integral = 0” como proposta sem hipóteses adicionais é falsa.

Passo 8

Observação final útil para a prova (motivação e dica): se em vez disso C for uma curva cuja região interior D está inteiramente contida em \{(x,y):y<0\} ou inteiramente em \{(x,y):y>1\} (ou seja, evita as faixas onde Q é indefinida) e D for simplesmente conexa, então P e Q são C^{1} em um aberto contendo D, podemos aplicar Green e, como o rotacional é zero, a integral fechada vale 0 (a orientação horária não altera esse valor porque -0=0). Mas como o enunciado não exige essa hipótese sobre a posição de C, a afirmação geral é falsa.

Resposta

b. Falso

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