Calcule as transformadas inversas:
Dica: Usar frações parciais para e) e f)
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s^{2}-2 s+7}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{s^{2}-2s+7}{(s^{2}+1)^{2}}.
O conteúdo envolve reconhecimento de transformadas usuais e decomposição em “frações” cujas inversas conhecemos, em particular as de t\cos t, t\sin t e funções semelhantes.

Passo 2

Queremos escrever
\frac{s^{2}-2s+7}{(s^{2}+1)^{2}}
como combinação de
\displaystyle\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}},\\ \frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} e \displaystyle\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}, pois sabemos
\mathcal{L}\{t\cos t\}=\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{t\sin t\}=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Fazemos
\frac{s^{2}-2s+7}{(s^{2}+1)^{2}} = A\,\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}} + B\,\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} + C\,\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)^{2} e comparando coeficientes em s:
s^{2}-2s+7 = A(s^{2}-1)+2B\,s + C = A\,s^{2} + 2B\,s + (C - A).
Daí obtemos o sistema
A = 1,\quad 2B = -2\implies B=-1,\quad C - A = 7\implies C=8.

Passo 3

Agora invertendo cada termo:
  1. A=1:\;\displaystyle\frac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}} corresponde a
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\tfrac{s^{2}-1}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr]=t\cos t.
  1. B=-1:\;\displaystyle-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} corresponde a
-\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\tfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr] =-\,t\sin t.
  1. C=8:\;\displaystyle 8\,\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}}. Sabemos que
\mathcal{L}\Bigl[\tfrac12(\sin t - t\cos t)\Bigr] =\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}},
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\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\tfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr] =\tfrac12(\sin t - t\cos t),
e portanto
8\cdot\frac{1}{(s^{2}+1)^{2}} \;\longrightarrow\; 8\cdot\tfrac12(\sin t - t\cos t) =4(\sin t - t\cos t).

Passo 4

Somando as parcelas obtidas:
t\cos t \;-\; t\sin t \;+\;4(\sin t - t\cos t) = t\cos t - t\sin t +4\sin t -4t\cos t = -3t\cos t \;-\; t\sin t \;+\;4\sin t.
Uma forma mais compacta é
4\sin t \;-\; t\,(3\cos t + \sin t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\tfrac{s^{2}-2s+7}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr] =4\sin t \;-\;3t\cos t \;-\;t\sin t.

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