Resolva. (Aplicação do segundo teorema do deslocamento).
L\left[t-u_{1}(t)(t-1)\right](s)

Passo 1

O enunciado quer a transformada de Laplace da função
f(t)=t - u_{1}(t)\,(t-1),
onde u_{1}(t) é o degrau unitário em t=1.
O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace e o segundo teorema do deslocamento (ou teorema do degrau).

Passo 2

Escrevemos a transformada de Laplace de f(t) como diferença de duas transformadas:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{t\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{u_{1}(t)\,(t-1)\}(s).

Passo 3

Pela tabela básica, sabemos que
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Pelo segundo teorema do deslocamento, se g(t)=u_{a}(t)\,h(t-a) então
\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =e^{-a s}\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Aqui a=1 e h(\tau)=\tau, logo
\mathcal{L}\{u_{1}(t)\,(t-1)\}(s) =e^{-s}\,\mathcal{L}\{\tau\}(s) =e^{-s}\,\frac{1}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{\,t - u_{1}(t)\,(t-1)\}(s) =\frac{1}{s^{2}}\;-\;\frac{e^{-s}}{s^{2}}.

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