Calcule as transformadas inversas:
Dica: Usar frações parciais para e) e f)
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{5 s+3}{(s+1)(s+2)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado quer a transformada inversa de
\frac{5s+3}{(s+1)(s+2)^{2}}
ou seja, precisamos encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=(5s+3)/\bigl((s+1)(s+2)^{2}\bigr). Vamos usar frações parciais para decompor essa função racional em termos cujas inversas de Laplace são conhecidas.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{5s+3}{(s+1)(s+2)^{2}} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)^{2}, fica
5s+3 = A\,(s+2)^{2} + B\,(s+1)(s+2) + C\,(s+1).

Passo 3

Expandindo e agrupando coeficientes em potências de s\): \[A(s^{2}+4s+4) + B(s^{2}+3s+2) + C(s+1) = (A+B)\,s^{2} + (4A+3B+C)\,s + (4A+2B+C).
Igualando a 5s+3, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 4A + 3B + C = 5,\\\\ 4A + 2B + C = 3. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo nas outras duas dá \[\begin{cases} A + C = 5,\\\\ 2A + C = 3, \end{cases}\] de onde \(A=-2, B=2, C=7.

Passo 4

Reescrevendo a função em frações parciais:
\frac{5s+3}{(s+1)(s+2)^{2}} = -\frac{2}{s+1} + \frac{2}{s+2} + \frac{7}{(s+2)^{2}}.
Usando que
\mathcal{L}^{-1}\bigl[1/(s+a)\bigr]=e^{-at} e
\mathcal{L}^{-1}\bigl[1/(s+a)^{2}\bigr]=t\,e^{-at}, temos
f(t) = -2e^{-t} + 2e^{-2t} + 7\,t\,e^{-2t}.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\biggl[\frac{5s+3}{(s+1)(s+2)^{2}}\biggr] = -2e^{-t} + 2e^{-2t} + 7t\,e^{-2t}.

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