Calcule as transformadas de Laplace
L\left(1+6 t+3 t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=1 + 6t + 3t^{2}.
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e vamos usar duas ideias principais: a linearidade
\displaystyle L\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,L\{g(t)\}+b\,L\{h(t)\}
e a fórmula padrão
L\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\quad n\in\mathbb{N}_0.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade, podemos escrever
L\{1 + 6t + 3t^{2}\} = L\{1\} \;+\; L\{6t\} \;+\; L\{3t^{2}\}.

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas conhecidas a cada termo:
  1. Para L\{1\}, pense em t^0. Como 0!=1,
L\{1\}=L\{t^0\}=\frac{0!}{s^{0+1}}=\frac{1}{s}.
  1. Para L\{6t\}, usamos L\{t\}=\dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^2} e multiplicamos por 6:
L\{6t\}=6\,L\{t\}=6\cdot\frac{1}{s^2}=\frac{6}{s^2}.
  1. Para L\{3t^2\}, usamos L\{t^2\}=\dfrac{2!}{s^3}=\dfrac{2}{s^3} e multiplicamos por 3:
L\{3t^2\}=3\cdot\frac{2}{s^3}=\frac{6}{s^3}.

Resposta

Somando tudo,
L\{1 + 6t + 3t^2\} =\frac{1}{s} \;+\;\frac{6}{s^2} \;+\;\frac{6}{s^3}.

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