Calcule as transformadas de Laplace
L\left(5 e^{-4 t}-8 \operatorname{sen} 3 t\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=5e^{-4t}-8\operatorname{sen}(3t).
O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace, o teorema da linearidade e as fórmulas conhecidas
L\bigl(e^{at}\bigr)=\frac{1}{s - a},\quad L\bigl(\operatorname{sen}(\omega t)\bigr)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
L\bigl(5e^{-4t}-8\operatorname{sen}(3t)\bigr) =5\,L\bigl(e^{-4t}\bigr)\;-\;8\,L\bigl(\operatorname{sen}(3t)\bigr).

Passo 3

Usando a fórmula
L\bigl(e^{at}\bigr)=\frac{1}{s - a},
com a=-4, obtém-se
L\bigl(e^{-4t}\bigr)=\frac{1}{s - (-4)}=\frac{1}{s+4}.

Passo 4

Usando a fórmula
L\bigl(\operatorname{sen}(\omega t)\bigr)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},
com \omega=3, obtemos
L\bigl(\operatorname{sen}(3t)\bigr)=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 5

Substituindo em
5\,L\bigl(e^{-4t}\bigr)\;-\;8\,L\bigl(\operatorname{sen}(3t)\bigr)
vem
5\cdot\frac{1}{s+4}\;-\;8\cdot\frac{3}{s^{2}+9} =\frac{5}{s+4}-\frac{24}{s^{2}+9}.

Resposta

L\bigl(5e^{-4t}-8\operatorname{sen}(3t)\bigr) =\frac{5}{s+4}-\frac{24}{s^{2}+9}.

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