Calcular as transformadas inversas de Laplace
L^{-1}\left(\frac{1}{s-8}+\frac{1}{s^{2}+25}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a função de tempo f(t) cuja transformada de Laplace é \r
\frac{1}{s-8}+\frac{1}{s^{2}+25}.\r
O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace, e vamos precisar das fórmulas básicas:\r
\mathcal{L}^{-1}\biggl(\frac{1}{s - a}\biggr)=e^{a t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\biggl(\frac{1}{s^{2}+b^{2}}\biggr)=\frac{1}{b}\sin(bt).

Passo 2

Aplicando a inversa a cada parcela, comece por \r
\frac{1}{s-8}.\r
Pela fórmula acima com a=8, temos\r
\mathcal{L}^{-1}\bigl(\tfrac{1}{s-8}\bigr)=e^{8t}.

Passo 3

Agora trate \r
\frac{1}{s^{2}+25}.\r
Aqui b^{2}=25 implica b=5. Logo,\r
\mathcal{L}^{-1}\bigl(\tfrac{1}{s^{2}+5^{2}}\bigr)=\frac{1}{5}\sin(5t).

Passo 4

Como a transformada é a soma das duas parcelas, a função no domínio do tempo é a soma dos resultados:\r
\boxed{f(t)=e^{8t}+\frac{1}{5}\sin(5t).}

Resposta

\displaystyle e^{8t}+\frac{1}{5}\sin(5t).

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