Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é definida para
(assumimos o domínio usual para transformada de Laplace).
O que precisamos encontrar: , isto é, a integral de Laplace dessa função e a região de convergência em
.
Informações dadas: a função é
O que precisamos encontrar:
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e condição de convergência.
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Para nossa função
a integral fica
Da forma da integral vemos que ela converge se e somente se a parte real do expoente negativo for positiva, isto é, se
ou seja
. Vou manter isso em mente e calcular a integral supondo
.
Passo 3
Uso do teorema do deslocamento em
(shifting theorem).
Existe uma propriedade muito útil:
Existe uma propriedade muito útil:
onde
. A prova é direta pela definição:
No nosso caso
e
. Então
Ou seja, basta calcular a transformada de
(sem o exponencial) e depois substituir
por
.
Passo 4
Cálculo de
usando mudança de variável e a função Gama.
Vamos calcular
Vamos calcular
Fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Substituindo:
A integral
é exatamente a definição da função Gama em
:
Portanto
Passo 5
Avaliação de
.
Usamos as relações conhecidas da função Gama:
Usamos as relações conhecidas da função Gama:
Tomando
obtemos
Então
Passo 6
Aplicando o deslocamento em
(substituição
).
Como vimos no Passo 3,
Como vimos no Passo 3,
Substituindo o resultado do Passo 5,
com região de convergência
. Aqui estamos usando a potência principal
; para
real maior que
isso é simplesmente positivo.