Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{e^{3 t} \sqrt{t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,e^{3t}\sqrt{t}\,.
Informações dadas: a função é f(t)=e^{3t}\,t^{1/2} definida para t\ge 0 (assumimos o domínio usual para transformada de Laplace).
O que precisamos encontrar: \mathcal{L}\{e^{3t}\sqrt{t}\}(s), isto é, a integral de Laplace dessa função e a região de convergência em s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e condição de convergência.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Para nossa função f(t)=e^{3t}t^{1/2} a integral fica
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{3t}\,t^{1/2}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,t^{1/2}\,dt.
Da forma da integral vemos que ela converge se e somente se a parte real do expoente negativo for positiva, isto é, se \Re(s-3)>0 ou seja \Re(s)>3. Vou manter isso em mente e calcular a integral supondo \Re(s)>3.

Passo 3

Uso do teorema do deslocamento em s (shifting theorem).
Existe uma propriedade muito útil:
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s). A prova é direta pela definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
No nosso caso a=3 e f(t)=t^{1/2}. Então
\mathcal{L}\{e^{3t}t^{1/2}\}(s)=\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s-3).
Ou seja, basta calcular a transformada de t^{1/2} (sem o exponencial) e depois substituir s por s-3.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s) usando mudança de variável e a função Gama.
Vamos calcular
F(s)=\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,t^{1/2}\,dt.
Fazemos a mudança de variável u=s t. Então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Substituindo:
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\left(\frac{u}{s}\right)^{1/2}\frac{du}{s} = s^{-\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{1/2}\,du.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{1/2}\,du é exatamente a definição da função Gama em 3/2:
\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{\tfrac{3}{2}-1}\,du =\int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{1/2}\,du.
Portanto
F(s)=\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\,s^{-\tfrac{3}{2}}=\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}{s^{3/2}}.

Passo 5

Avaliação de \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right).
Usamos as relações conhecidas da função Gama:
\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, \qquad \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z).
Tomando z=\tfrac{1}{2} obtemos
\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\,\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right) =\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Então
\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,s^{-\tfrac{3}{2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Passo 6

Aplicando o deslocamento em s (substituição s\mapsto s-3).
Como vimos no Passo 3,
\mathcal{L}\{e^{3t}t^{1/2}\}(s)=\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s-3).
Substituindo o resultado do Passo 5,
\mathcal{L}\{e^{3t}\sqrt{t}\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,(s-3)^{3/2}},
com região de convergência \Re(s)>3. Aqui estamos usando a potência principal (s-3)^{3/2}; para s real maior que 3 isso é simplesmente positivo.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{3t}\sqrt{t}\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,(s-3)^{3/2}}
\Re(s)>3

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