A decomposição de HI em fase gasosa é descrita abaixo. Sabendo-se que -r_{H I}= k C_{\text {H }}^{2}, onde k=30 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{min} a 443^{\circ} \mathrm{C}, calcule o tempo necessário para que a concentração de HI diminua de 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} a 0,0050 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} a 443^{\circ} \mathrm{C}.
H I(g) \rightarrow \frac{1}{2} H_{2}(g)+\frac{1}{2} I_{2}(g)

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que a concentração de HI em fase gasosa caia de \,0{,}010\\ \mathrm{mol/L}\, para \,0{,}0050\\ \mathrm{mol/L}\, à temperatura de 443^\circ\mathrm{C}. As informações dadas são:
H I(g)\rightarrow \tfrac{1}{2}H_{2}(g)+\tfrac{1}{2}I_{2}(g)
-r_{H I}=k\,C_{H}^{2}
k = 30\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}\\ \text{a }443^\circ\mathrm{C}
Concentração inicial: \,C_{0}=0{,}010\\ \mathrm{mol/L}\,.
Concentração final desejada: \,C=0{,}0050\\ \mathrm{mol/L}\,.
Pergunta: determinar o tempo t necessário para essa variação de concentração.

Passo 2

Entendendo a lei de velocidade dada. A expressão -r_{H I}=k\,C_{H}^{2} significa, por definição de taxa de consumo,
-\frac{d[C]}{dt}=k\,[C]^{2},
onde:
  • [C] ou C é a concentração de HI em \mathrm{mol/L} no instante t;
  • t é o tempo em \mathrm{min};
  • k é a constante de velocidade, aqui 30\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
    Verificação dimensional rápida: \mathrm{L/(mol\cdot min)}\times(\mathrm{mol/L})^{2}=\mathrm{mol/(L\cdot min)}, que é unidade de taxa — consistente.

Passo 3

Derivação da forma integrada (a “aula curta” do conceito). Partimos da equação diferencial:
\frac{d[C]}{dt}=-k[C]^2.
Separamos variáveis para integrar:
\frac{d[C]}{[C]^2}=-k\,dt.
Integramos ambos os lados, tomando os limites de concentração de [C]_0 (em t=0) até [C] (em t):
\int_{[C]_0}^{[C]}\frac{d[C]}{[C]^2}=\int_{0}^{t}-k\,dt.
A integral do lado esquerdo é -\dfrac{1}{[C]} (avaliada nos limites), e a do lado direito é -k\,t. Portanto:
\left(-\frac{1}{[C]}\right)-\left(-\frac{1}{[C]_0}\right)=-k\,t.
Rearranjando obtemos a forma integrada conhecida para reação de segunda ordem com uma única espécie:
\frac{1}{[C]}-\frac{1}{[C]_0}=k\,t.
Explicação adicional curta: isso diz que 1/[C] cresce linearmente com o tempo, com declive k. Na prova, basta lembrar desta forma ou saber derivá-la como fizemos.

Passo 4

Aplicando a fórmula integrada aos valores do enunciado. Substituímos [C]_0=0{,}010\\ \mathrm{mol/L}, [C]=0{,}0050\\ \mathrm{mol/L} e k=30\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}:
t=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{[C]}-\frac{1}{[C]_0}\right).
Calculamos os inversos:
\frac{1}{[C]}=\frac{1}{0{,}0050}=200\\ \mathrm{L/mol},
\frac{1}{[C]_0}=\frac{1}{0{,}010}=100\\ \mathrm{L/mol}.
Diferença:
\frac{1}{[C]}-\frac{1}{[C]_0}=200-100=100\\ \mathrm{L/mol}.
Logo
t=\frac{100\\ \mathrm{L/mol}}{30\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}}=\frac{100}{30}\\ \mathrm{min}=3{,}333\ldots\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Converter para minutos e segundos (se preferir formato minuto+segundo): 0{,}333\ldots\\ \mathrm{min}=0{,}333\ldots\times60\\ \mathrm{s}=20\\ \mathrm{s}. Assim o tempo é 3\\ \mathrm{min}\\\ 20\\ \mathrm{s}.
Verificação rápida (insight): para reação de segunda ordem a meia-vida é t_{1/2}=\dfrac{1}{k[C]_0}. Substituindo k=30 e [C]_0=0{,}010 t_{1/2}=1/(30\cdot0{,}01)=1/0{,}3=3{,}333\ldots\\ \mathrm{min}. Aqui a concentração final é exatamente metade da inicial, então o tempo calculado deve ser a meia-vida — bate com nosso resultado.

Resposta

t=3{,}33\\ \mathrm{min} (ou 3\\ \mathrm{min}\\\ 20\\ \mathrm{s})

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