A decomposição de HI em fase gasosa é descrita abaixo. Sabendo-se que
, onde
a
, calcule o tempo necessário para que a concentração de HI diminua de
a
a
.
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para que a concentração de HI em fase gasosa caia de
para
à temperatura de
. As informações dadas são:
Concentração inicial:
.
Concentração final desejada: .
Pergunta: determinar o tempo necessário para essa variação de concentração.
Concentração final desejada:
Pergunta: determinar o tempo
Passo 2
Entendendo a lei de velocidade dada. A expressão
significa, por definição de taxa de consumo,
onde:
-
ou é a concentração de HI em no instante ; -
é o tempo em ; -
é a constante de velocidade, aqui .
Verificação dimensional rápida:, que é unidade de taxa — consistente.
Passo 3
Derivação da forma integrada (a “aula curta” do conceito). Partimos da equação diferencial:
Separamos variáveis para integrar:
Integramos ambos os lados, tomando os limites de concentração de
(em
) até
(em
):
A integral do lado esquerdo é
(avaliada nos limites), e a do lado direito é
. Portanto:
Rearranjando obtemos a forma integrada conhecida para reação de segunda ordem com uma única espécie:
Explicação adicional curta: isso diz que
cresce linearmente com o tempo, com declive
. Na prova, basta lembrar desta forma ou saber derivá-la como fizemos.
Passo 4
Aplicando a fórmula integrada aos valores do enunciado. Substituímos
,
e
:
Calculamos os inversos:
Diferença:
Logo
Passo 5
Converter para minutos e segundos (se preferir formato minuto+segundo):
. Assim o tempo é
.
Verificação rápida (insight): para reação de segunda ordem a meia-vida é
. Substituindo
e
dá
. Aqui a concentração final é exatamente metade da inicial, então o tempo calculado deve ser a meia-vida — bate com nosso resultado.