Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado\n
- Pede-se a transformada de Laplace da função
. - As constantes envolvidas são
e (assumir real e real). - A transformada de Laplace que vamos calcular é a função de
- Precisamos também indicar a região de convergência (valores de
onde a integral converge).
Passo 2
Lembrete da definição e estratégia inicial\n
- A definição (repetindo com calma) é
- Juntando exponenciais temos um único decaimento/expoente:
- Para tornar a notação mais simples, defino
Assim a integral que preciso calcular é
- Observação sobre convergência: para que
faça o integrando tender a zero quando é necessário . Como , isso equivale a . Guardar isso para a resposta final.
Passo 3
Cálculo de
— primeiro passo por partes\n
- Vou calcular
por integração por partes duas vezes. Primeira integração por partes: escolho -
(então ), -
(então , válido se ).
-
- Aplicando a fórmula
obtemos
- Avaliando o termo de fronteira: se
então quando , e é limitada, logo o limite no infinito é . No temos , então o termo de fronteira inteiro é . - Assim sobra
- Defino para simplificar
logo
.
Passo 4
Segunda integração por partes para obter
\n
- Calculo agora
por partes com -
(então ), -
(então ).
-
- Aplicando
obtemos
- Avaliando o termo de fronteira: novamente, para
o termo no infinito é zero; no temos . Portanto o termo de fronteira total é . - O integrando da segunda parte fica
, mas note os sinais: o produto dos sinais dá . Assim
Passo 5
Resolver o sistema entre
e
\n
- Já tínhamos
. Substituo pela expressão do Passo 4:
- Expando:
- Reagrupando termos com
:
- Simplificando o fator:
- Finalmente:
Passo 6
Retornando à variável
e escrevendo a transformada\n
- Lembrando que
, a transformada pedida é
- E a condição de convergência, conforme apontado antes, é
, ou seja
Passo 7
Comentário rápido (atalho útil para a prova)\n
- Existe uma propriedade prática: se
então (deslocamento na variável ). Como para , aplicar o deslocamento dá imediatamente o mesmo resultado: