Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{b t} \cos (a t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=e^{b t}\cos(a t).
Informações dadas e suposições:
  • a e b são constantes (podem ser reais).
  • A transformada de Laplace será uma função de s.
  • Considera-se o domínio usual t\ge0.
    A tarefa é obter explicitamente \mathcal{L}\{e^{b t}\cos(a t)\}(s) e indicar a condição de convergência em termos de s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. A integral converge quando o fator exponencial e^{-s t} faz o integrando decair suficientemente rápido para t\to\infty. Para a nossa função f(t)=e^{b t}\cos(a t) o integrando é e^{-s t}e^{b t}\cos(a t)=e^{-(s-b)t}\cos(a t). Portanto, para que haja convergência é necessário que a parte real do expoente seja negativa, isto é,
\operatorname{Re}(s-b)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Re}(s)>b.

Passo 3

Escrever a integral que vamos calcular e simplificar notação:
Definindo \alpha=s-b (com \operatorname{Re}(\alpha)>0), temos
\mathcal{L}\{e^{b t}\cos(a t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-b)t}\cos(a t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(a t)\,dt.
O objetivo agora é calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(a t)\,dt.

Passo 4

Cálculo da integral usando exponenciais complexas (método direto e limpo):
Usa-se a identidade \cos(a t)=\operatorname{Re}(e^{i a t}). Então
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(a t)\,dt=\operatorname{Re}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}e^{i a t}\,dt\right)=\operatorname{Re}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - i a)t}\,dt\right).
Para \operatorname{Re}(\alpha)>0 vale a integral geométrica
\int_{0}^{\infty} e^{-(\alpha - i a)t}\,dt=\frac{1}{\alpha - i a}.
Tomando a parte real,
\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{\alpha - i a}\right)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{\alpha + i a}{\alpha^{2}+a^{2}}\right)=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+a^{2}}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\cos(a t)\,dt=\frac{\alpha}{\alpha^{2}+a^{2}}.

Passo 5

Voltar à variável s e escrever a resposta final com a condição de convergência; conferir por um caso especial:
Substituindo \alpha=s-b obtemos
\mathcal{L}\{e^{b t}\cos(a t)\}(s)=\frac{s-b}{(s-b)^{2}+a^{2}},
válido para \operatorname{Re}(s)>b.
Verificação rápida: se a=0 a função vira e^{b t} e a fórmula dá \dfrac{s-b}{(s-b)^{2}}=\dfrac{1}{s-b}, que é de fato \mathcal{L}\{e^{b t}\}(s), como esperado.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{b t}\cos(a t)\}(s)=\frac{s-b}{(s-b)^{2}+a^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>b

Exercícios relacionados