Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas e suposições:
Informações dadas e suposições:
-
e são constantes (podem ser reais). - A transformada de Laplace será uma função de
. - Considera-se o domínio usual
.
A tarefa é obter explicitamentee indicar a condição de convergência em termos de .
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa. A integral converge quando o fator exponencial
faz o integrando decair suficientemente rápido para
. Para a nossa função
o integrando é
. Portanto, para que haja convergência é necessário que a parte real do expoente seja negativa, isto é,
Passo 3
Escrever a integral que vamos calcular e simplificar notação:
Definindo (com
), temos
Definindo
O objetivo agora é calcular a integral
.
Passo 4
Cálculo da integral usando exponenciais complexas (método direto e limpo):
Usa-se a identidade . Então
Usa-se a identidade
Para
vale a integral geométrica
Tomando a parte real,
Portanto
Passo 5
Voltar à variável
e escrever a resposta final com a condição de convergência; conferir por um caso especial:
Substituindo obtemos
Substituindo
válido para
.
Verificação rápida: se a função vira
e a fórmula dá
, que é de fato
, como esperado.
Verificação rápida: se