Calcule a TVM de
\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x} no intervalo [0,2]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) na função
f(x) = -x^2 + 3x
no intervalo [0,2]. Para isso, precisamos verificar as hipóteses do TVM e depois encontrar um ponto c\in(0,2) tal que
f'\text{(c)} = \frac{f(2)-f(0)}{2-0}.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2). Portanto, as hipóteses do TVM estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f no intervalo:
f(2) = -(2)^2 + 3\cdot2 = -4 + 6 = 2,
f(0) = -(0)^2 + 3\cdot0 = 0,
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\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{2 - 0}{2} = 1.

Passo 4

Agora encontramos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^2 + 3x\bigr) = -2x + 3.

Passo 5

Pelo TVM, deve existir c\in(0,2) tal que
f'\text{(c)} = 1.
Substituindo:
-2c + 3 = 1.

Passo 6

Resolvendo para c:
-2c = 1 - 3 = -2
c = 1.

Resposta

O valor c garantido pelo Teorema do Valor Médio é c = 1.

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