Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções h(x) = e^(-2 x) sen(2 x) / cos(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa achar a derivada primeira da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Além disso, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais, senos, cossenos e aplicar a regra do produto quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão se encaixar na regra do quociente. No caso, temos:
  • (o numerador)
  • (o denominador)

Passo 3

Agora, vamos derivar . Essa é uma função produto, então usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Então, aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada do cosseno é:
Então,

Passo 5

Com e calculados, aplicamos a regra do quociente, que é:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada primeira da função é:

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