Calcule usando a definição de limite.
f_{y}(1,-1) onde f(x, y)=5 x y^{3}+6 x^{2}+11

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=5xy^{3}+6x^{2}+11 e pede o valor de f_{y}(1,-1), isto é, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,-1).
Informações relevantes:
  • A função completa: f(x,y)=5xy^{3}+6x^{2}+11.
  • O ponto onde a derivada parcial deve ser avaliada: (x,y)=(1,-1).
  • Pede-se usar a definição de limite para calcular f_{y}(1,-1).

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada parcial em relação a y e explicar cada símbolo, como se fosse uma receita passo a passo.
Definição (limite): f_{y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.
O que cada coisa significa:
  • (a,b) é o ponto onde se calcula a derivada parcial; aqui (a,b)=(1,-1).
  • h é um incremento pequeno na variável y; x fica fixo em a.
  • f(a,b+h) é o valor da função quando se aumenta y em h.
  • A expressão \dfrac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h} é o quociente incremental (a “razão média” de variação em y).
  • O limite quando h\to 0 pega a variação instantânea, ou seja, a derivada parcial.

Passo 3

Calcular f(1,-1) aplicando a função no ponto dado.
f(1,-1)=5\cdot 1\cdot (-1)^{3}+6\cdot 1^{2}+11.
Agora avalio os potências e produtos:
(-1)^{3}=-1,
5\cdot 1\cdot (-1)=-5,
6\cdot 1^{2}=6.
Somando tudo:
f(1,-1)=-5+6+11.
f(1,-1)=12.

Passo 4

Calcular f(1,-1+h). Substituir x=1 e y=-1+h na expressão de f.
f(1,-1+h)=5\cdot 1\cdot (-1+h)^{3}+6\cdot 1^{2}+11.
Expandir (-1+h)^{3} usando a fórmula do binômio de Newton. Lembrando que (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Aqui a=-1 e b=h.
(-1+h)^{3}=(-1)^{3}+3(-1)^{2}h+3(-1)h^{2}+h^{3}.
Calcular termos:
(-1)^{3}=-1,
3(-1)^{2}h=3\cdot 1\cdot h=3h,
3(-1)h^{2}=-3h^{2}.
Portanto
(-1+h)^{3}=-1+3h-3h^{2}+h^{3}.
Multiplicando por 5 e somando os outros termos da função:
f(1,-1+h)=5(-1+3h-3h^{2}+h^{3})+6+11.
Distribuindo o 5:
f(1,-1+h)=-5+15h-15h^{2}+5h^{3}+17.
Somando constantes -5+17:
f(1,-1+h)=12+15h-15h^{2}+5h^{3}.

Passo 5

Formar o quociente incremental da definição e simplificá‑lo.
\frac{f(1,-1+h)-f(1,-1)}{h}=\frac{(12+15h-15h^{2}+5h^{3})-12}{h}.
Cancelar os 12:
\frac{15h-15h^{2}+5h^{3}}{h}.
Fatorar h no numerador ou simplificar termo a termo:
\frac{h(15-15h+5h^{2})}{h}=15-15h+5h^{2}.

Passo 6

Calcular o limite quando h\to 0.
f_{y}(1,-1)=\lim_{h\to 0}(15-15h+5h^{2}).
Como 15-15h+5h^{2} é um polinômio em h, basta substituir h=0:
\lim_{h\to 0}(15-15h+5h^{2})=15-15\cdot 0+5\cdot 0^{2}=15.
Portanto, pelo cálculo pelo limite, f_{y}(1,-1)=15.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): tratar x como constante e derivar f em relação a y usando regras usuais. A parte que depende de y em f é 5xy^{3}. Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}(5xy^{3})=5x\cdot 3y^{2}=15xy^{2}.
As outras parcelas 6x^{2}+11 não dependem de y, então sua derivada parcial em y é zero. Logo
f_{y}(x,y)=15xy^{2}.
Avaliando em (1,-1):
f_{y}(1,-1)=15\cdot 1\cdot (-1)^{2}=15.
Confere com o resultado obtido pelo limite.

Resposta

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