Calcule usando a definição de limite.
onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor de
, isto é, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Informações relevantes:
- A função completa:
. - O ponto onde a derivada parcial deve ser avaliada:
. - Pede-se usar a definição de limite para calcular
.
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada parcial em relação a
e explicar cada símbolo, como se fosse uma receita passo a passo.
Definição (limite):
O que cada coisa significa:
-
é o ponto onde se calcula a derivada parcial; aqui . -
é um incremento pequeno na variável ; fica fixo em . -
é o valor da função quando se aumenta em . - A expressão
é o quociente incremental (a “razão média” de variação em ). - O limite quando
pega a variação instantânea, ou seja, a derivada parcial.
Passo 3
Calcular
aplicando a função no ponto dado.
Agora avalio os potências e produtos:
Somando tudo:
Passo 4
Calcular
. Substituir
e
na expressão de
.
Expandir
usando a fórmula do binômio de Newton. Lembrando que
. Aqui
e
.
Calcular termos:
Portanto
Multiplicando por
e somando os outros termos da função:
Distribuindo o
:
Somando constantes
:
Passo 5
Formar o quociente incremental da definição e simplificá‑lo.
Cancelar os
:
Fatorar
no numerador ou simplificar termo a termo:
Passo 6
Calcular o limite quando
.
Como
é um polinômio em
, basta substituir
:
Portanto, pelo cálculo pelo limite,
.
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): tratar
como constante e derivar
em relação a
usando regras usuais. A parte que depende de
em
é
. Derivando em
:
As outras parcelas
não dependem de
, então sua derivada parcial em
é zero. Logo
Avaliando em
:
Confere com o resultado obtido pelo limite.