Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f(x)=x^{3,4}-2 x^{\sqrt{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções.” A função dada é
f(x)=x^{3,4}-2\,x^{\sqrt{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a diferença de duas potências de x.
  • Os expoentes são 3,4 (ou seja \tfrac{17}{5}) e \sqrt{2}-1.
  • A tarefa é encontrar a primitiva mais geral (ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=f(x)), e verificar derivando.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (regra do polinômio/potência para integrais):
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\qquad\text{para }a\neq-1,
onde a é um número real e C é a constante de integração.
Por que isso vale? Porque, pela regra de derivação de potências, se G(x)=\dfrac{x^{a+1}}{a+1} então
G'(x)=\frac{a+1}{a+1}x^{a}=x^{a}.
Também usaremos a propriedade de linearidade da integral: constantes podem ser puxadas para fora,
\int c\cdot g(x)\,dx=c\int g(x)\,dx,
e integrais somadas se somam. Observação importante: se a=-1 a fórmula não vale e a primitiva é \ln|x|, mas aqui não temos a=-1.

Passo 3

Integração do primeiro termo x^{3,4}.
Primeiro escrevo o expoente na forma racional para facilitar: 3,4=\dfrac{34}{10}=\dfrac{17}{5}. Então aplico a regra:
\int x^{3,4}\,dx=\int x^{\tfrac{17}{5}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{17}{5}+1}}{\tfrac{17}{5}+1}+C.
Calculo o expoente e o denominador:
\tfrac{17}{5}+1=\tfrac{17}{5}+\tfrac{5}{5}=\tfrac{22}{5}.
Assim
\int x^{3,4}\,dx=\frac{x^{\tfrac{22}{5}}}{\tfrac{22}{5}}=\frac{5}{22}\,x^{\tfrac{22}{5}}+C.

Passo 4

Integração do segundo termo -2\,x^{\sqrt{2}-1}.
Puxo a constante -2 para fora:
\int -2\,x^{\sqrt{2}-1}\,dx=-2\int x^{\sqrt{2}-1}\,dx.
Aplicando a regra com a=\sqrt{2}-1 (note que a\neq-1 porque \sqrt{2}-1\approx0,414):
\int x^{\sqrt{2}-1}\,dx=\frac{x^{\sqrt{2}-1+1}}{\sqrt{2}-1+1}=\frac{x^{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}.
Multiplicando pela constante -2:
-2\cdot\frac{x^{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}\,x^{\sqrt{2}}.
Simplifico \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} (porque \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}). Logo
\int -2\,x^{\sqrt{2}-1}\,dx=-\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}+C.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos (e reunindo as constantes em uma única constante C), a primitiva mais geral de f é
F(x)=\frac{5}{22}\,x^{\tfrac{22}{5}}-\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}+C.

Passo 6

Verificação derivando F. Derivo termo a termo usando a regra da potência:
Derivada de \dfrac{5}{22}\,x^{\tfrac{22}{5}}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{22}\,x^{\tfrac{22}{5}}\right)=\frac{5}{22}\cdot\frac{22}{5}\,x^{\tfrac{22}{5}-1}=x^{\tfrac{17}{5}}=x^{3,4}.
Derivada de -\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}:
\frac{d}{dx}\!\left(-\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}\right)=-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}=-2\,x^{\sqrt{2}-1}.
Somando as duas derivadas obtém-se exatamente
F'(x)=x^{3,4}-2\,x^{\sqrt{2}-1}=f(x),
portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

F(x)=\frac{5}{22}\,x^{\tfrac{22}{5}}-\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}}+C

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