Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções.” A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a diferença de duas potências de
. - Os expoentes são
(ou seja ) e . - A tarefa é encontrar a primitiva mais geral (ou seja uma função
tal que ), e verificar derivando.
Passo 2
Regra básica que vamos usar (regra do polinômio/potência para integrais):
onde
é um número real e
é a constante de integração.
Por que isso vale? Porque, pela regra de derivação de potências, se então
Por que isso vale? Porque, pela regra de derivação de potências, se
Também usaremos a propriedade de linearidade da integral: constantes podem ser puxadas para fora,
e integrais somadas se somam. Observação importante: se
a fórmula não vale e a primitiva é
, mas aqui não temos
.
Passo 3
Integração do primeiro termo
.
Primeiro escrevo o expoente na forma racional para facilitar:
. Então aplico a regra:
Calculo o expoente e o denominador:
Assim
Passo 4
Integração do segundo termo
.
Puxo a constante
para fora:
Aplicando a regra com
(note que
porque
):
Multiplicando pela constante
:
Simplifico
(porque
). Logo
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos (e reunindo as constantes em uma única constante
), a primitiva mais geral de
é
Passo 6
Verificação derivando
. Derivo termo a termo usando a regra da potência:
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando as duas derivadas obtém-se exatamente
portanto a primitiva encontrada está correta.