Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição (epsilon-delta), o limite
para um parâmetro
.
Informações dadas/claras desde já:
Informações dadas/claras desde já:
- A função considerada é
, definida para . - O ponto de interesse é
com . - O objetivo é provar, a partir da definição formal de limite, qual é o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Recordando a definição (em palavras e em fórmula): dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
e
estiver na região onde
está definida, então
.
Aqui queremos mostrar que ; ou seja, para cada
devemos fornecer um
(dependendo de
e possivelmente de
) que garanta
Aqui queremos mostrar que
sempre que
e
.
Passo 3
Tratamento do caso
(é simples e merece separação):
Queremos provar que . Note que, para
,
Queremos provar que
Se escolhermos
, então
implica
, e portanto
Assim, para todo
existe
que satisfaz a condição da definição. Logo
Passo 4
Tratamento do caso
. Vou usar uma identidade algébrica útil (racionalização) que ajuda a relacionar
com
: multiplicando por conjugado obtemos, para
,
Essa fórmula vem de
(multiplicando numerador e denominador por
). Agora precisamos controlar o denominador
por baixo para transformar essa fração em algo proporcional a
.
Passo 5
Escolha de
para garantir um limite inferior para
. Como
, fixe primeiro um valor que mantenha
relativamente perto de
; por exemplo, imponha
. Então, se
segue que
ou seja
. Assim
, e em particular
Usando essa desigualdade na expressão do Passo 4,
Portanto, se conseguirmos que
então teremos
.
Passo 6
Concluindo a construção do
para
: para um dado
escolha
Então, sempre que
(e lembrando que
porque a função não está definida para
) valem simultaneamente
e
. Pelas contas do passo anterior isso implica
Portanto para todo
encontramos
que satisfaz a definição de limite, provando que
Passo 7
Resumo e observações finais amigáveis: juntando os dois casos
e
temos que, para qualquer
,
Nota: em
o limite é “pela direita” na prática, porque a função só está definida para
; isso está contemplado na definição usada (considera-se apenas
no domínio da função). Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico (por exemplo
e um
específico) para treinar a escolha de
.