Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow p} \sqrt{x}, para p \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição (epsilon-delta), o limite
\lim_{x\to p}\sqrt{x},
para um parâmetro p\geq0.
Informações dadas/claras desde já:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt{x}, definida para x\geq0.
  • O ponto de interesse é x\to p com p\geq0.
  • O objetivo é provar, a partir da definição formal de limite, qual é o valor do limite quando x tende a p.

Passo 2

Recordando a definição (em palavras e em fórmula): dizer que
\lim_{x\to p}f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-p|<\delta e x estiver na região onde f está definida, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui queremos mostrar que L=\sqrt{p}; ou seja, para cada \varepsilon>0 devemos fornecer um \delta>0 (dependendo de \varepsilon e possivelmente de p) que garanta
|\,\sqrt{x}-\sqrt{p}\,|<\varepsilon
sempre que 0<|x-p|<\delta e x\ge 0.

Passo 3

Tratamento do caso p=0 (é simples e merece separação):
Queremos provar que \lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0. Note que, para x\ge 0,
|\,\sqrt{x}-\sqrt{0}\,|= \sqrt{x}.
Se escolhermos \delta=\varepsilon^{2}, então 0<|x-0|<\delta implica 0\le x<\varepsilon^{2}, e portanto
\sqrt{x}<\varepsilon.
Assim, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon^{2}>0 que satisfaz a condição da definição. Logo
\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0.

Passo 4

Tratamento do caso p>0. Vou usar uma identidade algébrica útil (racionalização) que ajuda a relacionar |\sqrt{x}-\sqrt{p}| com |x-p|: multiplicando por conjugado obtemos, para x\ge 0,
|\,\sqrt{x}-\sqrt{p}\,| = \frac{|x-p|}{\sqrt{x}+\sqrt{p}}.
Essa fórmula vem de \sqrt{x}-\sqrt{p} = \dfrac{x-p}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{p}). Agora precisamos controlar o denominador \sqrt{x}+\sqrt{p} por baixo para transformar essa fração em algo proporcional a |x-p|.

Passo 5

Escolha de \delta para garantir um limite inferior para \sqrt{x}+\sqrt{p}. Como p>0, fixe primeiro um valor que mantenha x relativamente perto de p; por exemplo, imponha \delta\le \dfrac{p}{2}. Então, se 0<|x-p|<\delta\le \dfrac{p}{2} segue que
x> p-\delta \ge p-\frac{p}{2}=\frac{p}{2},
ou seja x\ge \dfrac{p}{2}>0. Assim \sqrt{x}\ge \sqrt{p/2}, e em particular
\sqrt{x}+\sqrt{p}\ge \sqrt{p}.
Usando essa desigualdade na expressão do Passo 4,
|\,\sqrt{x}-\sqrt{p}\,| = \frac{|x-p|}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \le \frac{|x-p|}{\sqrt{p}}.
Portanto, se conseguirmos que |x-p|<\varepsilon\sqrt{p} então teremos |\sqrt{x}-\sqrt{p}|<\varepsilon.

Passo 6

Concluindo a construção do \delta para p>0: para um dado \varepsilon>0 escolha
\delta=\min\!\left(\frac{p}{2},\,\varepsilon\sqrt{p}\right).
Então, sempre que 0<|x-p|<\delta (e lembrando que x\ge0 porque a função não está definida para x<0) valem simultaneamente x\ge p/2 e |x-p|<\varepsilon\sqrt{p}. Pelas contas do passo anterior isso implica
|\,\sqrt{x}-\sqrt{p}\,| \le \frac{|x-p|}{\sqrt{p}}<\frac{\varepsilon\sqrt{p}}{\sqrt{p}}=\varepsilon.
Portanto para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 que satisfaz a definição de limite, provando que
\lim_{x\to p}\sqrt{x}=\sqrt{p}\quad\text{para todo }p>0.

Passo 7

Resumo e observações finais amigáveis: juntando os dois casos p=0 e p>0 temos que, para qualquer p\ge 0,
\lim_{x\to p}\sqrt{x}=\sqrt{p}.
Nota: em p=0 o limite é “pela direita” na prática, porque a função só está definida para x\ge0; isso está contemplado na definição usada (considera-se apenas x no domínio da função). Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico (por exemplo p=4 e um \varepsilon específico) para treinar a escolha de \delta.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to p}\sqrt{x}=\sqrt{p}

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