Calcule usando integrais duplas:
volume do sólido acima do plano
, abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
.
Dica: use coordenadas polares:
Dica: use coordenadas polares:
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o volume do sólido que está acima do plano $ z = 0 $, abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2x $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam o trabalho com formas circulares.
Passo 2
Vamos começar analisando a região de integração no plano $ xy $. O cilindro dado pela equação $ x^{2} + y^{2} = 2x $ pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro no ponto $ (1, 0) $.
Passo 3
Em coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, a equação do cilindro fica:
Portanto, para $ r \geq 0 $, a região de integração para $ r $ vai de 0 até $ 2 \cos \theta $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para o ângulo $ \theta $. Como $ r = 2 \cos \theta $ deve ser positivo, isso acontece quando $ \cos \theta \geq 0 $. Assim, $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
O paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas polares fica:
Como queremos o volume entre $ z = 0 $ e $ z = r^{2} $, a função altura é $ r^{2} $.
Passo 6
A integral dupla para o volume $ V $ é:
Aqui, $ r^{2} $ é a função altura e $ r , dr , d\theta $ é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 7
Calculando a integral interna em $ r $:
Passo 8
Agora, a integral se simplifica para:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Passo 9
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{3\pi}{2} $.