Calcule usando integrais duplas:
(3,0) O volume do sólido acima do plano z=0, abaixo do paraboloide z=x^2+y^2 e dentro do cilindro x^2+y^2=2 x.
Dica: use coordenadas polares: lx=x0+r cos (theta) y=y0+r sen(theta)

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o volume do sólido que está acima do plano $ z = 0 $, abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 2x $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam o trabalho com formas circulares.

Passo 2

Vamos começar analisando a região de integração no plano $ xy $. O cilindro dado pela equação $ x^{2} + y^{2} = 2x $ pode ser reescrito completando o quadrado:
xy
Isso representa um círculo de raio 1 com centro no ponto $ (1, 0) $.

Passo 3

Em coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, a equação do cilindro fica:
x = r cos theta
Portanto, para $ r \geq 0 $, a região de integração para $ r $ vai de 0 até $ 2 \cos \theta $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para o ângulo $ \theta $. Como $ r = 2 \cos \theta $ deve ser positivo, isso acontece quando $ \cos \theta \geq 0 $. Assim, $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

O paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $ em coordenadas polares fica:
z = x^2 + y^2
Como queremos o volume entre $ z = 0 $ e $ z = r^{2} $, a função altura é $ r^{2} $.

Passo 6

A integral dupla para o volume $ V $ é:
V
Aqui, $ r^{2} $ é a função altura e $ r , dr , d\theta $ é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 7

Calculando a integral interna em $ r $:
r

Passo 8

Agora, a integral se simplifica para:
V = integral-pi2^pi2 4 cos^4 theta , dtheta
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
cos^4 theta = 38 + 12 cos (2theta) + 18 cos (4theta)

Passo 9

Substituindo na integral:
V = 4 integral-pi2^pi2 ( 38 + 12 cos (2theta) + 18 cos (4theta) ) dtheta
Calculando cada parte:
V = 4 [ 38 cdot pi + 0 + 0 ] = 4 cdot 3pi8 = 3pi2

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{3\pi}{2} $.

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