Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = -2y^{2}x -4x^{2}y +24xy $ e dizer se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, potenciais pontos de máximo, mínimo ou sela.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para $ x $ e $ y $.
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar a equação (2):
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ y + x -6 = 0 $ ou seja, $ y = 6 - x $
Vamos analisar cada caso.
Passo 5
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação (1):
Isso resulta em $ y = 0 $ ou $ y = 12 $.
Então, temos dois pontos críticos: $ (0, 0) $ e $ (0, 12) $.
Passo 6
Caso 2: $ y = 6 - x $
Substituindo $ y = 6 - x $ na equação (1):
Vamos expandir e simplificar:
Então, $ x = 6 $ ou $ x = 2 $.
Correspondente a $ y = 6 - x $, temos:
- Se $ x = 6 $, então $ y = 0 $ → ponto $ (6, 0) $
- Se $ x = 2 $, então $ y = 4 $ → ponto $ (2, 4) $
Passo 7
Agora, temos todos os pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (0, 12) $, $ (6, 0) $ e $ (2, 4) $.
Para classificar cada ponto, vamos usar a segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante $ D = F_{xx}F_{yy} - (F_{xy})^{2} $ para cada ponto.
Passo 8
Ponto (0, 0):
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
Ponto (0, 12):
Também é um ponto de sela.
Ponto (6, 0):
Mais um ponto de sela.
Ponto (2, 4):
Além disso, $ F_{xx} = -32 < 0 $, então é um ponto máximo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 0) $ – Ponto de sela
- $ (0, 12) $ – Ponto de sela
- $ (6, 0) $ – Ponto de sela
- $ (2, 4) $ – Ponto de máximo