Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
F(x, y)=-2 y^2 x-4 x^2 y+24 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = -2y^{2}x -4x^{2}y +24xy $ e dizer se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, potenciais pontos de máximo, mínimo ou sela.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
F
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Fx = -2y^2 - 8xy + 24y = 0 (1)
Fy = -4xy -4x^2 +24x = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para $ x $ e $ y $.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a equação (2):
-4xy -4x^2 +24x = 0 -4x(y + x -6) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ y + x -6 = 0 $ ou seja, $ y = 6 - x $
Vamos analisar cada caso.

Passo 5

Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação (1):
x = 0
Isso resulta em $ y = 0 $ ou $ y = 12 $.
Então, temos dois pontos críticos: $ (0, 0) $ e $ (0, 12) $.

Passo 6

Caso 2: $ y = 6 - x $
Substituindo $ y = 6 - x $ na equação (1):
y = 6 - x
Vamos expandir e simplificar:
y = 6 - x
Então, $ x = 6 $ ou $ x = 2 $.
Correspondente a $ y = 6 - x $, temos:
  • Se $ x = 6 $, então $ y = 0 $ → ponto $ (6, 0) $
  • Se $ x = 2 $, então $ y = 4 $ → ponto $ (2, 4) $

Passo 7

Agora, temos todos os pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (0, 12) $, $ (6, 0) $ e $ (2, 4) $.
Para classificar cada ponto, vamos usar a segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
(0, 0)
(0, 12)
(6, 0)
Calculamos o discriminante $ D = F_{xx}F_{yy} - (F_{xy})^{2} $ para cada ponto.

Passo 8

Ponto (0, 0):
Fxx = -8(0) = 0 Fyy = -4(0) = 0 Fxy = -4(0) -8(0) +24 = 24 D = 0 times 0 -24^2 = -576 < 0
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
Ponto (0, 12):
D < 0
Também é um ponto de sela.
Ponto (6, 0):
Fxx = -8(12) = -96 Fyy = -4(0) = 0 Fxy = -4(12) -8(0) +24 = -48 +24 = -24 D = -96 times 0 - (-24)^2 = -576 < 0
Mais um ponto de sela.
Ponto (2, 4):
Fxx = -8(0) = 0 Fyy = -4(6)^2 = -144 Fxy = -4(0) -8(6) +24 = -48 +24 = -24 D = 0 times (-144) - (-24)^2 = -576 < 0
Além disso, $ F_{xx} = -32 < 0 $, então é um ponto máximo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 0) $ – Ponto de sela
  • $ (0, 12) $ – Ponto de sela
  • $ (6, 0) $ – Ponto de sela
  • $ (2, 4) $ – Ponto de máximo

Exercícios relacionados