Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto definido por
x² + y² ≤ z ≤ 4x + 2y
ou seja, é um problema de cálculo de volume via integrais triplas, onde vamos projetar a região no plano xy e integrar a diferença entre a superfície superior e a inferior.
Passo 2
Primeiro encontramos a projeção D dessa região no plano xy, que é dada por x² + y² ≤ 4x + 2y. Para ver que isso é um disco, completamos quadrados:
(x - 2)² + (y - 1)² ≤ 5
Logo, D é o disco de centro (2,1) e raio √5.
Passo 3
Para calcular o volume, escrevemos a integral dupla
Passo 4
Fazemos a mudança de variável para centralizar o disco: u = x - 2, v = y - 1. Então u² + v² ≤ 5 e
Agora D fica u² + v² ≤ 5.
Passo 5
Passamos para coordenadas polares (u = r cosθ, v = r sinθ), com Jacobiano r. A integral vira
e executando a integração em r e θ obtemos