Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
x^2+y^2 <= z <= 4 x+2 y (Resp: 25 pi2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto definido por
x² + y² ≤ z ≤ 4x + 2y
ou seja, é um problema de cálculo de volume via integrais triplas, onde vamos projetar a região no plano xy e integrar a diferença entre a superfície superior e a inferior.

Passo 2

Primeiro encontramos a projeção D dessa região no plano xy, que é dada por x² + y² ≤ 4x + 2y. Para ver que isso é um disco, completamos quadrados:
(x - 2)² + (y - 1)² ≤ 5
Logo, D é o disco de centro (2,1) e raio √5.

Passo 3

Para calcular o volume, escrevemos a integral dupla
V = integral duplaD l[(4x + 2y) - (x^2 + y^2)r] , dA

Passo 4

Fazemos a mudança de variável para centralizar o disco: u = x - 2, v = y - 1. Então u² + v² ≤ 5 e
(4x + 2y) - (x^2 + y^2) = 5 - (u^2 + v^2)
Agora D fica u² + v² ≤ 5.

Passo 5

Passamos para coordenadas polares (u = r cosθ, v = r sinθ), com Jacobiano r. A integral vira
V = integral0^2piintegral0^raiz5 (5 - r^2),r,dr,dθ
e executando a integração em r e θ obtemos
V = 2pi l[tfrac5r^22 - tfracr^44r]0^raiz5 = 2pil(tfrac252 - tfrac254r) = tfrac25pi2

Resposta

25pi2

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