Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
(x-a)^2+y^2 <= a^2, x^2+y^2+z^2 <= 4 a^2 e z >= 0 (a>0) (Resp: 16 a^33[pi2-23])

Passo 1

O enunciado pede o volume da região definida pela interseção do cilindro (x-a)^2 + y^2 <= a^2 com a parte superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 4a^2 (isto é, z>=0). Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular esse volume.

Passo 2

Para passar a região para coordenadas cilíndricas, escrevemos x = rcostheta, y = rsintheta e o jacobiano vale r. A desigualdade do cilindro fica
(rcostheta - a)^2 + r^2sin^2theta <= a^2
de onde obtemos
r^2 - 2arcostheta + a^2 <= a^2 Rightarrow r <= 2acostheta,
com costheta>=0, ou seja -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2 e 0<= r<=2acostheta.

Passo 3

A condição da esfera e de z>=0 impõe
0 <= z <= raiz4a^2 - r^2
Assim o volume é
V = integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2acostheta integralz=0^raiz4a^2-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integremos em z:
integral0^raiz4a^2-r^2 r,dz = rraiz4a^2 - r^2
Fica
V = integral-pi/2^pi/2 integral0^2acostheta rraiz4a^2-r^2,dr,dtheta

Passo 5

Para resolver integral rraiz4a^2-r^2,dr usamos a substituição u=4a^2-r^2, logo du=-2r,dr. Temos:
integral0^2acostheta rraiz4a^2-r^2,dr = -tfrac12 integralu=4a^2^u=4a^2sin^2theta u^1/2,du = tfrac12 cdot tfrac23l[(4a^2)^3/2 - (4a^2sin^2theta)^3/2r]
Como (4a^2)^3/2=8a^3 e (4a^2sin^2theta)^3/2=8a^3|sintheta|^3, obtemos
integral0^2acostheta rraiz4a^2-r^2,dr = tfrac13,8a^3l(1 - |sintheta|^3r)

Passo 6

Agora
V = integral-pi/2^pi/2 tfrac8a^33l(1 - |sintheta|^3r),dtheta = tfrac8a^33l[integral-pi/2^pi/21,dtheta - integral-pi/2^pi/2|sintheta|^3,dthetar]
Sabemos que integral-pi/2^pi/21,dtheta=pi e
integral-pi/2^pi/2|sintheta|^3,dtheta = 2integral0^pi/2sin^3theta,dtheta = 2cdottfrac23 = tfrac43

Passo 7

Substituindo esses valores:
V = tfrac8a^33l(pi - tfrac43r) = tfrac16a^33l(tfracpi2 - tfrac23r)

Resposta

V = 16a^33l[pi2-23r]

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