Calcule, usando integrais triplas, o volume de cada um dos conjuntos dados abaixo.
e
Passo 1
O enunciado pede o volume da região definida pela interseção do cilindro
com a parte superior da esfera
(isto é,
). Vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular esse volume.
Passo 2
Para passar a região para coordenadas cilíndricas, escrevemos
,
e o jacobiano vale
. A desigualdade do cilindro fica
de onde obtemos
com
, ou seja
e
.
Passo 3
A condição da esfera e de
impõe
Assim o volume é
Passo 4
Primeiro integremos em
:
Fica
Passo 5
Para resolver
usamos a substituição
, logo
. Temos:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Agora
Sabemos que
e
Passo 7
Substituindo esses valores: