Encontre o campo gradiente para f(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo gradiente para a função . Isso está relacionado ao cálculo de vetores, mais especificamente ao gradiente, que é uma ferramenta do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f(x, y, z) = ln raizx^2 + y^2 + z^2 em relação a f(x, y, z) = 12 ln (x^2 + y^2 + z^2) . A função é:
partial fpartial x = 12 cdot 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2x = xx^2 + y^2 + z^2
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Agora, derivando em relação a :

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 12 cdot 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2y = yx^2 + y^2 + z^2 em relação a :

Passo 5

E finalmente, a derivada parcial de partial fpartial z = 12 cdot 1x^2 + y^2 + z^2 cdot 2z = zx^2 + y^2 + z^2 em relação a :

Resposta

Então, juntando tudo, o campo gradiente de nabla f = ( xx^2 + y^2 + z^2, yx^2 + y^2 + z^2, zx^2 + y^2 + z^2 ) é:

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