Encontre o campo gradiente para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo gradiente para a função
. Isso está relacionado ao cálculo de vetores, mais especificamente ao gradiente, que é uma ferramenta do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Agora, derivando em relação a
:
Passo 4
De maneira similar, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E finalmente, a derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
Então, juntando tudo, o campo gradiente de
é: