Calcule (usando o método de integração por partes)
\int x(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que temos: calcular a primitiva (antiderivada)
\int x(\ln x)^{2}\,dx.
Observação importante: a função \ln x só está definida para x>0, então a primitiva que vamos obter vale para x>0. No final devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que vamos derivar (calcular du) e dv é uma parte que vamos integrar (calcular v). A escolha de u e dv é estratégica: queremos que du seja mais simples que u e que v seja integrável facilmente.

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação de partes: pegar a parte com (\ln x)^{2} como u, porque derivando ela fica mais simples, e pegar o restante como dv. Assim:
u=(\ln x)^{2},\qquad dv = x\,dx.
Agora calculamos du e v:
  • Derivada de (\ln x)^{2}: por regra da cadeia,
du = 2(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln x}{x}\,dx.
  • Integral de dv=x\,dx:
v=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante (o 2 e o \tfrac{1}{2} se cancelam, e um x do numerador com o do denominador):
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int x\ln x\,dx.
Portanto reduzimos o problema a calcular \int x\ln x\,dx, que é mais simples, mas ainda pede partes.

Passo 5

Calcular \int x\ln x\,dx usando integração por partes outra vez. Escolhemos
u=\ln x,\qquad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.
Agora integramos \int \frac{x}{2}\,dx:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Logo
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante (que será absorvida na constante final).

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo \int x\ln x\,dx:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right) + C.
Agora simplificamos os termos:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4} + C.
Podemos também fatorar \dfrac{x^{2}}{4} se quisermos uma forma compacta:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{4}\Bigl(2(\ln x)^{2} - 2\ln x + 1\Bigr) + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4} + C

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