Calcule (usando o método de integração por partes)
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações que temos: calcular a primitiva (antiderivada)
Observação importante: a função
só está definida para
, então a primitiva que vamos obter vale para
. No final devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis
e
,
Aqui
é uma função que vamos derivar (calcular
) e
é uma parte que vamos integrar (calcular
). A escolha de
e
é estratégica: queremos que
seja mais simples que
e que
seja integrável facilmente.
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação de partes: pegar a parte com
como
, porque derivando ela fica mais simples, e pegar o restante como
. Assim:
Agora calculamos
e
:
- Derivada de
: por regra da cadeia,
- Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificando a integral restante (o
e o
se cancelam, e um
do numerador com o do denominador):
Portanto reduzimos o problema a calcular
, que é mais simples, mas ainda pede partes.
Passo 5
Calcular
usando integração por partes outra vez. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando:
Agora integramos
:
Logo
onde
é uma constante (que será absorvida na constante final).
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo
:
Agora simplificamos os termos:
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma compacta: