Complete o quadrado e use as integrais do exercício (4) para calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a fração
. - Não há outras restrições; devemos encontrar uma primitiva (ou seja, resolver indefinidamente).
- Observação útil a priori: o denominador é um polinômio quadrático sem raízes reais aparentes; normalmente, nestes casos, completamos o quadrado do denominador e escrevemos a integral como soma de uma parte do tipo
(que vira log) e outra do tipo (que vira arctan).
Passo 2
Completar o quadrado do denominador para deixá-lo na forma
.
Calculemos:
Explicando a ideia: completar o quadrado consiste em tomar
, adicionar e subtrair
para formar
. O resto
aparece naturalmente.
Passo 3
Faça uma mudança de variável simples para centralizar o quadrado: seja
. Então
e
.
Transforme o numerador:
Substituindo na integral (usando
e o denominador completado):
Passo 4
Separe a integral em duas parcelas lineares, para usar integrais conhecidas:
Motivação didática: escrever o numerador como combinação linear de
e
permite aplicar duas técnicas padrão:
- para
usar substituição ; - para
usar a fórmula do arco tangente.
Passo 5
Calcule cada parcela usando as fórmulas padrão (essas são as integrais “do exercício (4)” que estamos usando):
- Integral do tipo
.
Faça
. Então
, logo
. Assim
Breve justificativa: a derivada de
é
, por isso aparece log quando temos
.
- Integral do tipo
.
Aqui usamos a fórmula padrão
. Com
temos
, portanto
Justificativa curta: a derivada de
vale
.
Passo 6
Agora combine os resultados com os fatores que estavam na separação (veja o Passo 4):
Simplificando os coeficientes:
Finalmente, volte à variável original
usando
: