Complete o quadrado e use as integrais do exercício (4) para calcular as integrais:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}+8 x+25} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x-1}{x^{2}+8x+25}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a fração \dfrac{3x-1}{x^{2}+8x+25}.
  • Não há outras restrições; devemos encontrar uma primitiva (ou seja, resolver indefinidamente).
  • Observação útil a priori: o denominador é um polinômio quadrático sem raízes reais aparentes; normalmente, nestes casos, completamos o quadrado do denominador e escrevemos a integral como soma de uma parte do tipo \int \dfrac{u}{u^{2}+a^{2}}\,du (que vira log) e outra do tipo \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du (que vira arctan).

Passo 2

Completar o quadrado do denominador para deixá-lo na forma (x+4)^{2}+9.
Calculemos:
x^{2}+8x+25 = (x^{2}+8x+16)+9 = (x+4)^{2}+9.
Explicando a ideia: completar o quadrado consiste em tomar x^{2}+8x, adicionar e subtrair (8/2)^{2}=16 para formar (x+4)^{2}. O resto +9 aparece naturalmente.

Passo 3

Faça uma mudança de variável simples para centralizar o quadrado: seja u=x+4. Então du=dx e x=u-4.
Transforme o numerador:
3x-1 = 3(u-4)-1 = 3u-12-1 = 3u-13.
Substituindo na integral (usando dx=du e o denominador completado):
\int \frac{3x-1}{x^{2}+8x+25}\,dx = \int \frac{3u-13}{u^{2}+9}\,du.

Passo 4

Separe a integral em duas parcelas lineares, para usar integrais conhecidas:
\int \frac{3u-13}{u^{2}+9}\,du = 3\int \frac{u}{u^{2}+9}\,du - 13\int \frac{1}{u^{2}+9}\,du.
Motivação didática: escrever o numerador como combinação linear de u e 1 permite aplicar duas técnicas padrão:
  • para \int \dfrac{u}{u^{2}+a^{2}}\,du usar substituição t=u^{2}+a^{2};
  • para \int \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du usar a fórmula do arco tangente.

Passo 5

Calcule cada parcela usando as fórmulas padrão (essas são as integrais “do exercício (4)” que estamos usando):
  1. Integral do tipo \int \dfrac{u}{u^{2}+9}\,du.
Faça t=u^{2}+9. Então dt=2u\,du, logo u\,du=\tfrac{1}{2}dt. Assim
\int \frac{u}{u^{2}+9}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln\big(u^{2}+9\big)+C.
Breve justificativa: a derivada de \ln(t) é 1/t, por isso aparece log quando temos 1/t.
  1. Integral do tipo \int \dfrac{1}{u^{2}+9}\,du.
Aqui usamos a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C. Com a^{2}=9 temos a=3, portanto
\int \frac{1}{u^{2}+9}\,du = \frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right)+C.
Justificativa curta: a derivada de \arctan(u/a) vale \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Agora combine os resultados com os fatores que estavam na separação (veja o Passo 4):
3\int \frac{u}{u^{2}+9}\,du - 13\int \frac{1}{u^{2}+9}\,du = 3\cdot\frac{1}{2}\ln\big(u^{2}+9\big) - 13\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
Simplificando os coeficientes:
= \frac{3}{2}\ln\big(u^{2}+9\big) - \frac{13}{3}\arctan\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
Finalmente, volte à variável original x usando u=x+4:
\frac{3}{2}\ln\big((x+4)^{2}+9\big) - \frac{13}{3}\arctan\!\left(\frac{x+4}{3}\right) + C.

Resposta

\frac{3}{2}\ln\big((x+4)^{2}+9\big)\;-\;\frac{13}{3}\arctan\!\left(\frac{x+4}{3}\right)+C

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